Infinitos de diferentes órdenes

funciones límites

¿Son todos los infinitos iguales?

Si consideremos la función $f(x)=x^2$ sabemos que:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty$

Si consideremos la función $f(x)=\ln(x^2)$ sabemos que:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x^2) = +\infty$

Nos fijamos ahora en la función $f(x)=x^2 - \ln(x^2)$
¿Cuál sería su límite?

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( x^2- \ln(x^2)\right) = \infty - \infty$

– ¿Sería 0?
– ¿Sería Indeterminación?

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( x^2- \ln(x^2)\right) = +\infty$
porque el primer infinito es de orden superior.
Observa la siguiente tabla

Aunque ambas tienden a infinito, $x^2$ crece mucho más rápido que $\ln(x^2)$

Por tanto, podemos afirmar que hay infinitos de diferentes órdenes

Potencias de x
la de mayor exponente es un infinito de orden superior

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x^3 - x^2 \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} x^3$

Exponenciales (base mayor que 1)
la de mayor base es un infinito de orden superior

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2^x - 3^x \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} -3^x$

Exponenciales mayores que Potencias
Una exponencial (base mayor que 1) es un infinito de orden superior a una potencia de x

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 2^x - x^5 \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} 2^x$

Potencias mayores que Logarítmicas
Una potencia de x es un infinito de orden superior a una logarítmica

$\lim_{x \rightarrow \infty} \left( x - \ln(x) \right) = \lim_{x \rightarrow \infty} x$

Polinomios del mismo grado son infinitos del mismo orden

Exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden

En el siguiente ejemplo se aplican los infinitos de diferentes órdenes

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3+2^x}{3^x+4^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2^x}{4^x}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{2}{4} \right)^x =0$

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