Factorización de Polinomios

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Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios primos (irreducibles).
Los polinomios irreducibles son los de grado cero (números), los de primer grado y los de grado mayor o igual a 2 que no tengan raíces reales.

Ejemplo: El polinomio $5x^3+5x^2-50x+40$ factorizado quedaría así:

$\fbox{5x^3+5x^2-50x+40 = 5 \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x+4)}$

Técnicas para factorizar polinomios

Para factorizar polinomios se suelen usar una o varias de las siguientes técnicas:

Sacar factor común

Ejemplo: $4x^2+4x = 4x \cdot (x+1)$

Usar las igualdades notables

Veamos algunos ejemplos de uso de las igualdades notables

$x^2-9 = x^2-3^2 = (x+3) \cdot (x-3)$
$x^2+2x+1 = (x+1)^2$

Resolver la ecuación de segundo grado

Cuando el polinomio a factorizar (o alguno de sus factores) es de segundo grado, podemos resolver la ecuación de segundo grado

Si la ecuación $ax^2+bx+c=0$ tiene como soluciones $s_1$ y $s_2$ , entonces podemos expresar el polinomio como:

$ax^2+bx+c= a \cdot (x-s_1) \cdot (x-s_2)$

Ejemplo: Factorizar el polinomio $5x^2-25x+30$

Si resolvemos la ecuación $5x^2-25x+30=0$ obtenemos como soluciones 2 y 3.

Entonces $5x^2-25x+30 = 5 \cdot (x-2) \cdot (x-3)$

Método de Ruffini

Podemos usar la Regla de Ruffini como en este ejemplo:

Factorizar el polinomio: $5x^3+5x^2-50x+40$

$\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x^3+5x^2-50x+40}$

$\polyhornerscheme[x=2,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x^2+10x-40}$

$\polyhornerscheme[x=-4,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x+20}$

Observe el cambio de signo: a las raíces 1, 2 y -4 le corresponden los factores $(x-1)$ , $(x-2)$ y $(x+4)$

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