Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Determina el punto simétrico de $A(-3,1,6)$ respecto de la recta $r$ de ecuaciones $x-1 = \frac{y+3}{2} = \frac{z+1}{2}$

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Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, $c(x)$ , expresado en litros, viene dado por la función

$c(x)=7.5-0.05x+0.00025x^2$

siendo $x$ , la velocidad en $km/h$

– a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.
– b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x) .
– c) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos?

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Considera las matrices:

$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)$
$\qquad$ y $\qquad$
$B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)$

– a) ¿Hay algún valor de $\lambda$ para el que $A$ no tiene inversa?
– b) Para $\lambda=1$ , resuelve la ecuación matricial $A^{-1}XA = B$

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El director de un banco afirma que la cantidad media de dinero extraído, por cliente, de un cajero automático de su sucursal no supera los 120 euros. Para contrastar esta hipótesis elige al azar 100 extracciones de este cajero y obtiene una media muestral de 130 euros. Se sabe que la cantidad de dinero extraído por un cliente en un cajero automático se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 67 euros.
– a) Plantee el contraste de hipótesis asociado al enunciado.
– b) Determine la región de aceptación, para un nivel de significación $\alpha =0.05$ .
– c) Con los datos muestrales tomados, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis de este director, con el mismo nivel de significación anterior?

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Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad $R(x)$ , en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, $x$ , que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:
$R( x) = -0.001x^2 + 0.4 x + 3.5$ , con $x \geq 10$ .

– a) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.
– b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad.
– c) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

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Dadas las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

– a) Calcula el rango de $A$ dependiendo de los valores de $\alpha$
– b) Para $\alpha=2$ , resuelve la ecuación matricial $A^tX=B$

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Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} \alpha & 1 \\ - \alpha & 3 \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{array} \right)$

– a) Calcula los valores de $\alpha$ para los que la matriz inversa de A es $\frac{1}{12}A$
– b) Para $\alpha=-3$ , determina la matriz $X$ que verifica la ecuación $A^tX=B$ , siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$ .

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Un estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cena viendo la televisión. Se desea contrastar la veracidad de esta afirmación y, para ello, se toma una muestra de 500 familias, en la que se observa que 340 ven la televisión mientras cenan. Decida, mediante un contraste de hipótesis, si la afirmación es cierta con un nivel de significación de 0.01.

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Considera el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{rcc} 2x-2y+4z & = & 4 \\ 2x + z & = & a \\ -3x -3y+ 3z & = & -3 \end{array} \right\}$

– a) Discútelo según los valores del parámetro $a$
– b) Resuélvelo cuando sea posible

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En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 a ños, los ingresos vienen dados por la fórmula $-x^2 + 70x$ , mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión,

$\frac{400x}{x-30}$

Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

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Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones:

$x+y \ge 2$ , $\: x+3y \le 15$ , $\: 3x-y \le 15$ , $\: x \ge 0$ , $\: y \ge 0$

– (a) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices
– (b) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función $F(x,y)=3x+y$ en dicho recinto
– (c) Razone si existen puntos (x,y) del recinto, para los que $F(x,y)=30$

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En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma suene es 0.95. La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es de 0.03.

– a) ¿Cuál es la probabilidad de que suene la alarma?
– b) Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente.

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Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son $|A|=\frac{1}{2}$ y $|B|=-2$ . Halla:

– a) $|A^3|$
– b) $|A^{-1}|$
– c) $|-2A|$
– d) $|AB^t|$
– e) rango(B)

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Sean las matrices
$A= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad \quad B=\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Efectúe, si es posible, los siguientes productos:

– a1) $A \cdot A^t$
– a2) $A^t \cdot A$
– a3) $A \cdot B$

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial $A \cdot A^t \cdot X = B$

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Sean $A$ y $B$ dos sucesos aleatorios tales que:
$P(A)=0.4$ , $P(B)=0.5$ y $P(A \cap B)=0.2$

– a) Calcule razonadamente las probabilidades $P(A \cup B)$ , $P(A/B)$ y $P(B/A^c)$

– b) Razone si $A$ y $B$ son sucesos incompatibles.
– c) Razone si $A$ y $B$ son independientes

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Dado el sistema de ecuaciones lineales
$\left. \begin{array}{rcc} - \lambda x + y+ z & = & 1 \\ x + \lambda y +z & = & 2 \\ \lambda x + y+ z & = & 1 \end{array} \right\}$

– a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro $\lambda$
– b) Resuelve el sistema para $\lambda = 0$

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Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{cc} \lambda +1 & 0 \\ 1 & -1 \end{array} \right)$

– a) Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A^2+3A$ no tiene inversa.
– b) Para $\lambda =0$ , halla la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 2.

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Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a $54 \: m^2$ . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen máximo.

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Sea la función $f \: : \: R \: \longrightarrow \: R$ definida por $f(x)=e^x (x^2-x+1)$

– a) Calcula $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ y $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)$
– b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
– c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $f$ .

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Considera las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \qquad C = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)$
Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $AXB = C^t$ , siendo $C^t$ la matriz traspuesta de $C$

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