Monotonía (crecimiento-decrecimiento) de una función

Monotonía (crecimiento y decrecimiento)

– Una función real $f(x)$ es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo $x$ y $x\textsc{\char13}$ , con $x < x\textsc{\char13}$ , se tiene que: $f(x) \leq f(x\textsc{\char13})$
– Una función real $f(x)$ es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo $x$ y $x\textsc{\char13}$ , con $x < x\textsc{\char13}$ , se tiene que: $f(x) \geq f(x\textsc{\char13})$
– Una función real $f(x)$ es constante en un intervalo si para cualquier valor $x$ del intervalo , se tiene que: $f(x) = k$ (constante)

Teorema

– Si $f\textsc{\char13}(x_0)>0 \Longrightarrow f$ es creciente en $x_0$
– Si $f\textsc{\char13}(x_0)<0 \Longrightarrow f$ es decreciente en $x_0$

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento

– 1) Calculamos $f\textsc{\char13}(x)$
– 2) Resolvemos la ecuación $f\textsc{\char13}(x)=0$
– 3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.

– 4) Estudiamos el signo de $f\textsc{\char13}(x)$ en cada uno de los intervalos anteriores. Para ello tomamos un punto $x_0$ del intervalo y comprobamos si $f\textsc{\char13}(x_0)$ es positivo o negativo.

– Si es positivo, la función es creciente en ese intervalo
– Si es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

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