Discutir un sistema. Teorema de Rouché

Discutir un sistema de ecuaciones lineales

Discutir un sistema de ecuaciones lineales es clasificarlo, según el número de soluciones, en uno de los siguientes grupos:

– Sistema Compatible Determinado (SCD). Tienen solución única.
– Sistema Compatible Indeterminado (SCI). Tienen infinitas soluciones.
– Sistema Incompatible (SI). No tiene solución

Es conveniente discutir un sistema antes de ponernos a resolverlo (porque si fuese Sistema Incompatible, no tendríamos que resolverlo)

Teorema de Rouché

El teorema de Rouché, también llamado teorema de Rouché-Frobenius, nos permite discutir un sistema analizando el rango de la matriz de los coeficientes ( $A$ ) y el de la matriz ampliada ( $A^*$ )

– $rg(A) = rg(A*) =$ número incógnitas $\longrightarrow \:\: SCD$
– $rg(A) = rg(A*) <$ número incógnitas $\longrightarrow \:\: SCI$
– $rg(A) < rg(A*) \longrightarrow \:\: SI$

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