Matemáticas IES - Matemáticas IES

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El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años de vida viene dado por la expresión $B(t)=\left\{ \begin{array}{lr} -0.04t^2+2.4t & 0 \leq t < 40 \\ & \\ \frac{40t-320}{t} & 40 \leq t \leq 50 \end{array} \right.$
donde $t$ es el tiempo transcurrido.

– a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $B(t)$ en el intervalo $[0,50]$ .
– b) Estudie la monotonía de la función $B(t)$ y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
– c) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

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Se consideran las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & \lambda \\1 & -1 &-1 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\\lambda & 0 \\0 & 2 \end{array} \right)$
donde $\lambda$ es un número real.

– a) Encontrar los valores de $\lambda$ para los que la matriz $AB$ tiene inversa
– b) Dados $a$ y $b$ números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema $A \left( \begin{array}{c} x \\y \\z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\b \end{array} \right)$ compatible determinado con $A$ la matriz del enunciado?.

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Teniendo en cuenta que
$\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array} \right| = 7$ ,

calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo

$\left| \begin{array}{ccc} 3a & 3b & 3c \\ a+p & b+q & c+r \\ -x+a & -y+b & -z+c \end{array} \right|$

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La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos
ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuantos partidos gano, empató y perdió el equipo campeón?

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Sea $f : R \rightarrow R$ la función definida por $f(x)=e^x(ax+b)$ , donde $a$ y $b$ son números reales.

– a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto $(3,e^3)$
– b) Para los valores de $a$ y $b$ obtenidos, diga qué tipo de extremo tiene la función en el punto citado.

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a) Hallar los valores de $a$ y $b$ para que la función
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} 3x+2 & si & x < 0\\ x^2+2acosx & si & 0 \leq x < \pi\\ ax^2+b & si & x \geq \pi \end{array} \right.$
sea continua para todo valor de $x$

b) Estudia la derivabilidad para los anteriores valores de $a$ y $b$

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Se consideran las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\3 & -1 \end{array} \right)$
y
$B = \left( \begin{array}{cc} 4 & 20 \\16 & 5 \end{array} \right)$

– a) Calcule $A^2$ y $(A^ 2)^{-1}$
– b) Despeje $X$ de la ecuación matricial $A^2X = B$
– C) Calcule $X$

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Dada la función $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x-1}$ , se pide:
a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

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Para la función $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ , se pide:
a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

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Sea la función dada por
$f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x}{1-e^x} & si & x \neq 0 \\ -1 & si & x = 0 \end{array} \right.$
a) Demuestre que es continua en todo R
b) Determine si la función es derivable en $x = 0$ y, en caso afirmativo, calcule $f\textsc{\char13}(x)$ .

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Dada la función $f(x)=\frac{e^x}{x}$ , se pide:

a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

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Dada la función $f(x) = x \cdot Ln(x)-x$ , se pide:
a) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcule la ecuación de dicha recta.
b) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela al eje OX. Calcule la ecuación de dicha recta.

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Considere la función $f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2+ax-3 & si & x \leq 1 \\ Ln(x^2)+b & si & x > 1 \end{array} \right.$
Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales la función $f(x)$ es continua y derivable en todo R.

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Para la función $f(x)= x \cdot \left( \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1 \right)$ , se pide:
a) Dominio de definición
b) Calcule $\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)$ . ¿Es posible calcular también $\lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)$ ?. Justifique la respuesta
c) Calcule $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$

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Averigua la altura de una casa que proyecta una sombra de 68 m. sabiendo que en el mismo instante, una persona de 2 m. de alta, proyecta una sombre de 165 cm.

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Halla el punto simétrico de $P(3,9)$ respecto de $Q(-1, 3)$