Matemáticas IES - Matemáticas IES

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– a) Calcule la ecuación de la recta tangente a $y=\frac{1}{x-1}$ en el punto de abcisa $x=2$
– b) ¿En qué punto de la gráfica de la función $f(x)=2x^2+3x+1$ , la recta tangente es paralela a $y=3x-5$ ?
– c) Sea $g(x)=2x^2-8x+a$ . Halle $a$ para que el valor mínimo de $g$ sea $3$

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– Estudie la continuidad y derivabilidad de la función:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcr} x^2-4x+7 & si & x \leq 3 \\ \\ \frac{4}{x-2} & si & x > 3 \\ \end{array} \right.$

– Calcule la derivada de $g(x)=(x+1) e^{2x+1}$

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Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.

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Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

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Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

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Considera el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{lll} x + my + z = 0 \\ x + y + mz = 2 \\ mx + y + z = m \end{array} \right.$

– (a) ¿Para qué valor de $m$ el sistema tiene al menos dos soluciones?
– (b) ¿Para qué valores de $m$ el sistema admite solución en la que $x = 1$ ?

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Considera el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{lll} x + my + z = 0 \\ x + y + mz = 2 \\ mx + y + z = m \end{array} \right.$

– (a) ¿Para qué valor de $m$ el sistema tiene al menos dos soluciones?
– (b) ¿Para qué valores de $m$ el sistema admite solución en la que $x = 1$ ?

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Se sabe que las rectas:

$r \equiv \left. \begin{array}{lll} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = b + t \end{array} \right\}$
y
$s \equiv \left. \begin{array}{lll} x - y + z = 3 \\ 6x + 2z = 2 \end{array} \right\}$
están contenidas en un mismo plano

– (a) Calcula $b$
– (b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas $r$ y $s$

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Sea $I = \int_0^2 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \: dx$

– a) Expresa $I$ aplicando el cambio de variable $t=1+x^2$
– b) Calcula el valor de $I$

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Una imprenta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico necesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de tinta negra y dos de color. Si sólo dispone de 800 cartuchos de tinta negra y 1100 de color, y si no puede imprimir más de 400 revistas, ¿cuánto dinero podrá ingresar como máximo, si vende cada periódico a 0.9 euros y cada revista a 1.2 euros?

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Sean las funciones $f(x)=x^2-4x+6$ y $g(x)=2x-x^2$

– (a) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente
– (b) Determine el valor de $x$ para el que se hace mínima la función $h(x) = f(x) - g(x)$ .

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Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A^c)=0.60$ , $P(B)=0.25$ y $P(A \cup B)=0.55$

– (a) Razone si $A$ y $B$ son independientes
– (b) Calcule $P(A^c \cup B^c)$

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Calcula las siguientes derivadas:

– (a) $f(x)=\frac{1-3x}{x} + (5x-2)^3$
– (b) $g(x)=(x^2+2) \cdot Ln(x^2+2)$
– (c) $h(x)=3^{5x}+e^x$

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El gasto anual, en videojuegos, de los jóvenes de una ciudad sigue una ley Normal de media desconocida $\mu$ y desviación típica 18 euros. Elegida, al azar, una muestra de 144 jóvenes se ha obtenido un gasto medio de 120 euros.

– (a) Indique la distribución de las medias de las muestras de tamaño $144$
– (b) Determine un intervalo de confianza, al 99 %, para el gasto medio en videojuegos de los jóvenes de esa ciudad.
– (c) ¿Qué tamaño muestral mínimo deberíamos tomar para, con la misma confianza, obtener un error menor que 1.9?

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El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones $y = \frac{x^2}{a}$ y $y=\sqrt{ax}$
con $a > 0$ , vale $3$ . Calcula el valor de $a$ .

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Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} x & 1 \\ 1 & x+1 \end{array} \right)$
$\qquad$
$B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$

– a) Encuentre el valor o valores de x de forma que $B^2 = A$
– b) Igualmente para que $A - I_2 = B^{-1}$
– c) Determine x para que $A \cdot B = I_2$

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Un Ayuntamiento concede licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B.
Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A de 100000 euros y la de tipo B 300000 euros.
Si el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20000 euros y por una de tipo B a 40000 euros, ¿cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener un beneficio máximo?

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Sean las matrices
$A =\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ ,
$B =\left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ x & 0 \end{array} \right)$ y
$C =\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$

– (a) Encuentre el valor o valores de $x$ de forma que $B^2=A$
– (b) Igualmente para $B+C=A^{-1}$
– (c) Determine $x$ para que $A+B+C=3 \cdot I_2$

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Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes inecuaciones:

$y-x \le 4 ; \quad y+2x \ge 7 ; \quad -2x-y+13 \ge 0 ; \quad x \ge 0 ; \quad y \ge 0$

– (a) Represente el recinto y calcule sus vértices.
– (b) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los valores máximo y mínimo la función $F(x,y)=4x+2y-1$

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Sean las matrices
$A =\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{array} \right)$ ,

$X =\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ -2 \end{array} \right)$ e

$Y =\left( \begin{array}{cc} -x \\ 2 \\ z \end{array} \right)$

– (a) Determine la matriz inversa de $A$
– (b) Halle los valores de $x$ , $y$ , $z$ para los que se cumple $A \cdot X = Y$

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