Resolver inecuación exponencial

, por dani

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7^{x^2+5x} \geq \frac{1}{2401}

En principio actuamos como si fuese una ecuación exponencial, es decir, expresamos todo en potencias de la misma base y procuramos dejar una sola potencia a cada lado del signo igual.

7^{x^2+5x} \geq \frac{1}{7^4}

7^{x^2+5x} \geq 7^{-4}

x^2+5x \geq -4

x^2+5x +4 \geq 0

Se ha convertido en una inecuación de segundo grado, que podemos resolver por varios métodos. Cualquier método que usemos pasa por resolver primero la ecuación de segundo grado

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-5+3}{2}=-1\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4 \cdot1\cdot4}}{2 \cdot1}= \frac{-5\pm \sqrt{9}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-5-3}{2}=-4\end{array}

Vamos a resolverla usando el método de la recta real. Los intervalos a considerar serán:
(-\infty,-4) \qquad (-4,-1) \qquad (-1, +\infty)

Tomamos un punto de cada intervalo para comprobar si verifica la inecuación

(-5)^2+5 \cdot (-5) +4 \stackrel{?}{\geq} 0 \longrightarrow 4 \geq 0 \longrightarrow SI
(-2)^2+5 \cdot (-2) +4 \stackrel{?}{\geq} 0 \longrightarrow -2 \geq 0 \longrightarrow NO
0^2+5 \cdot 0 +4 \stackrel{?}{\geq} 0 \longrightarrow 4 \geq 0 \longrightarrow SI

También se debe comprobar que -4 y -1 verifican la inecuación, por lo que la solución es:

\fbox{\textcolor{blue}{(-\infty,-4] \cup [-1,+\infty)}}

La inecuación de segundo grado también se puede resolver dibujando la parábola y=x^2+5x+4 y mirando que parte de ella se encuentra por encima del eje horizontal

Resuelve la inecuación 7^{x^2+5x} \geq \frac{1}{2401}