Matemáticas IES

Estudio global de funciones a trozos

dani — 2026-07-15T04:32:07Z

Estudio completo de una función a trozos

Escribe la expresión de cada trozo y su condición de dominio, y elige los apartados. El dominio se estudia siempre.

Número de trozos:

f(x) =

{

Apartados ✓ Dominio (siempre) Cortes con los ejes Continuidad Derivabilidad Asíntotas Monotonía Extremos Concavidad / convexidad Puntos de inflexión

Selectividad Andalucía 2017 Junio suplente B1

dani — 2026-07-14T17:47:01Z

Indeterminación

Ponemos común denominador para transformarlo en una sola fracción:

Como es , derivamos numerador y denominador por separado: .

Sigue siendo : aplicamos L'Hôpital de nuevo.

Calcula

PAU · Andalucía · 2022 · mat_soc_2022_5 · Análisis · EJERCICIO 3

dani — 2026-07-14T10:34:48Z

Apartado a)

En el interior de cada rama, es continua y derivable por ser una función elemental (polinómica/racional). Estudiamos los puntos de empalme entre ramas.

Continuidad en

Derivabilidad en

Continuidad en

Derivabilidad en

Conclusión: es continua salvo en ; es derivable salvo en , .

Apartado b)

Asíntotas

: asíntota horizontal (por la derecha).

Monotonía (crecimiento y decrecimiento)

Estudiamos el crecimiento y decrecimiento en cada trozo (signo de en su intervalo).

Trozo 1 en : .

en .

Trozo 2 en : .

Trozo 3 en : .

Extremos relativos

Estudiamos en cada rama y el comportamiento en los puntos de empalme.

Representación gráfica

Rama (si ):

Representamos la parábola en el intervalo

Vértice

Cortes con los ejes

⚠ El corte con el eje (en ) queda fuera del dominio del trozo, no se representa.

Otro punto (dentro del dominio del trozo)

Punto de separación: en el trozo no incluye el extremo (): punto abierto ○ en .

Apartado c)

Área del recinto

Tramo : la gráfica de es la rama (si ).

Área (regla de Barrow)

Calculamos la integral (una primitiva):

Sustituimos por los extremos y aplicamos Barrow:

Tramo : la gráfica de es la rama (si ).

Área (regla de Barrow)

Calculamos la integral (una primitiva):

Sustituimos por los extremos y aplicamos Barrow:

Recinto limitado por las curvas y las rectas ,

Se considera la función

2 \end{cases}" title="f(x) = \begin{cases} 4x^2 + 16x + 17 & x < -1 \\ \frac{1}{3}(10 - 5x) & -1 \leq x \leq 2 \\ \frac{3}{2} & x > 2 \end{cases}" />

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de .

b) Represente gráficamente la función .

c) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de y el eje de abscisas entre y .

PAU · Andalucía · 2025 · mat_ii_2025_3 · Análisis · EJERCICIO 1

dani — 2026-07-14T10:31:13Z

Apartado a)

Punto de inflexión

Aplicamos la regla del producto y sacamos factor común (recuerda que , con ):

Derivamos (ya factorizada) otra vez con la regla del producto, volviendo a sacar factor común :

Como para todo , un producto se anula sólo si lo hace el otro factor: .

Ecuación de primer grado :

Recta tangente a en

Recta normal

Apartado b)

Estudio de la función:

Paso 1 · Dominio

El dominio es la intersección de los dominios de las funciones simples que la componen.

Dominio de :

Es una función polinómica, por tanto su dominio es (todos los números reales).

Dominio de :

Es una función exponencial, por tanto su dominio es (todos los números reales).

El dominio de es la intersección de los anteriores:

Paso 2 · Asíntotas

No hay asíntotas verticales.

Estudiamos el límite por la izquierda ():

Indeterminación

Un factor tiende a y el otro a . Pasamos el que tiende a al denominador como su inverso (así queda ):

Es ; por la regla de L'Hôpital derivamos numerador y denominador ():

El numerador está acotado y el denominador tiende a :

El límite es finito: hay asíntota horizontal (por la izquierda).

Estudiamos el límite por la derecha ():

Producto en el infinito

Estudiamos cada factor: y .

Considera la función definida por .

a) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de en el punto de inflexión.

b) Estudia y calcula las asintotas de la función.

PAU · Andalucía · 2021 · mat_ii_2021_2 · Análisis · EJERCICIO A2

dani — 2026-07-14T10:07:49Z

Apartado a)

Estudio de la función (racional):

Paso 1 · Dominio

Es una función racional. Su dominio es menos los valores que anulan el denominador (no se puede dividir por cero).

Resolvemos :

Ecuación de segundo grado :

Con :

Paso 2 · Asíntotas

Asíntotas verticales: en los puntos que no pertenecen al dominio comprobamos los límites laterales.

Hay asíntotas verticales en .

Asíntota horizontal: grados iguales (2), . Hay asíntota horizontal .

Apartado b)

Paso 3 · Derivadas

Aplicamos la regla del cociente:

, con y .

Sustituimos en la fórmula:

Operamos en el numerador y simplificamos:

Paso 4 · Monotonía (crecimiento y decrecimiento)

Una función crece donde su derivada cumple y decrece donde . Buscamos primero los puntos donde (la derivada calculada en el paso anterior), que son los posibles cambios de crecimiento:

Ecuación de segundo grado :

Con :

Puntos donde :

Para dividir la recta en intervalos no usamos solo los puntos donde : también hay que tener en cuenta los puntos que NO pertenecen al dominio (), donde la función no está definida.

Estos son los intervalos a estudiar:

En cada intervalo tomamos un punto de prueba y evaluamos para ver su signo:

En tomamos : → .

Con los signos obtenidos completamos la tabla:

Considera la función definida por (para , ).

a) Estudia y halla las asintotas de la gráfica de .

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de .

PAU · Andalucía · 2024 · mat_soc_2024_3 · Análisis · EJERCICIO 3

dani — 2026-07-14T10:05:52Z

Apartado a)

Representamos la parábola

Paso 1 · Cálculo del vértice

La abscisa del vértice:

Sustituimos :

La ordenada del vértice, sustituyendo en :

Paso 2 · Orientación de la parábola

Como , la parábola abre hacia abajo .

El vértice es el punto más alto de la curva.

Paso 3 · Cortes con los ejes

Corte con el eje — hacemos :

Corte con el eje :

Corte con el eje — hacemos :

Igualamos :

Aplicamos la fórmula general:

Con :

Puntos de corte con el eje : y

Paso 4 · Otros puntos

Calculamos puntos adicionales. Por ejemplo, para :

Los puntos y son simétricos respecto al eje .

Representamos la parábola

Vértice

Cortes con los ejes

Otro punto

Región delimitada por las curvas

Apartado b)

Puntos de corte ()

Igualamos y pasamos todo a un miembro:

Área (regla de Barrow)

Calculamos :

Calculamos la integral (una primitiva):

Sustituimos por los extremos y aplicamos Barrow:

El enunciado indica que este valor (la superficie) está en decámetros cuadrados (dam²). Por lo tanto, el área es de 25 dam².

Conversión a metros cuadrados:
Sabemos que 1 dam = 10 m
1 dam=10 m, por lo que al elevar al cuadrado:
1 dam² = 100 m²
25 dam² · 100 = 2500 m²

2500 m² · 75 €/m² = 187.500 €

La superficie de ampliación de un parque de atracciones, en decámetros cuadrados, coincide con el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones y .

a) (1 punto) Represente gráficamente la superficie de ampliación del parque de atracciones.

b) (1.5 puntos) Si el coste para acondicionar el nuevo suelo es de 75 €/, calcule el área de ampliación del parque y el coste total del acondicionamiento.

Estudio global de funciones II

dani — 2026-07-14T03:00:14Z

Estudio completo de una función

Escribe la expresión de la función y elige qué apartados quieres estudiar. El dominio se calcula siempre. Los apartados se muestran en orden fijo: cortes con los ejes → simetrías → continuidad → asíntotas → monotonía → extremos → concavidad/convexidad → puntos de inflexión. Se admiten funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, irracionales y trigonométricas.

f(x) =

Apartados ✓ Dominio (siempre) Cortes con los ejes Simetrías Continuidad Asíntotas Monotonía Extremos Concavidad / convexidad Puntos de inflexión

x min: x max: (opcional, se calcula automáticamente)

PAU · Andalucía · 2023 · mat_soc_2023_6 · Análisis · EJERCICIO 3

dani — 2026-07-13T17:53:29Z

Apartado a)

Derivamos

Apartado b)

Representamos la parábola

Paso 1 · Cálculo del vértice

La abscisa del vértice:

Sustituimos :

La ordenada del vértice, sustituyendo en :

Paso 2 · Orientación de la parábola

Como , la parábola abre hacia abajo .

El vértice es el punto más alto de la curva.

Paso 3 · Cortes con los ejes

Corte con el eje — hacemos :

Corte con el eje :

Corte con el eje — hacemos :

Igualamos :

Aplicamos la fórmula general:

Con :

Puntos de corte con el eje : y

Paso 4 · Otros puntos

Calculamos puntos adicionales. Por ejemplo, para :

Los puntos y son simétricos respecto al eje .

Región delimitada por las curvas

Área del recinto

Puntos de corte ()

Igualamos y pasamos todo a un miembro: Resolvemos el factor de grado 2:

Ecuación de segundo grado :

Con :

Área (regla de Barrow)

Calculamos : Calculamos la integral (una primitiva): Sustituimos por los extremos y aplicamos Barrow:

a) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: b) Represente gráficamente la región acotada comprendida entre la recta y la parábola y calcule su área.

PAU · Andalucía · 2024 · mat_ii_2024_2 · Análisis · EJERCICIO 4

dani — 2026-07-13T17:50:43Z

Integral definida (regla de Barrow)

Primero calculamos una primitiva :

Integración por partes (cíclica)

Aplicando el método por partes dos veces reaparece la propia integral , que despejamos:

Llamamos I a la integral:

Integramos por partes:

Aplicamos la formula; reaparece otra integral:

Reaparece la integral inicial I:

Sustituimos:

Operamos:

Agrupamos los terminos en I y despejamos:

Ahora aplicamos la regla de Barrow, sustituyendo por los límites:

Halla

PAU · Andalucía · 2021 · mat_soc_2021_3 · Análisis · EJERCICIO 3

dani — 2026-07-12T18:38:18Z

Apartado a)

En el interior de cada rama, es continua y derivable por ser una función elemental (racional/polinómica). Estudiamos los puntos de empalme entre ramas.

Continuidad en

Derivabilidad en

Continuidad en

Derivabilidad en

Conclusión: es continua salvo en ; es derivable salvo en , .

Apartado b)

Asíntotas

: asíntota horizontal (por la izquierda).

Monotonía (crecimiento y decrecimiento)

Estudiamos el crecimiento y decrecimiento en cada trozo (signo de en su intervalo).

Trozo 1 en : .

Trozo 2 en : .

en .

Trozo 3 en : .

Extremos relativos

Estudiamos en cada rama y el comportamiento en los puntos de empalme.

Representación gráfica

Rama (si ):

Representamos la hipérbola en el intervalo

Asíntota vertical

⚠ La asíntota vertical queda fuera del dominio del trozo.

Asíntota horizontal

Cortes con los ejes

Otro punto (dentro del dominio del trozo)

Punto de separación: en el trozo incluye el extremo (): punto relleno ● en .

Rama (si ):

Representamos la parábola en el intervalo

Vértice

Cortes con los ejes

⚠ Este corte queda fuera del dominio del trozo, no se representa.

Otro punto (dentro del dominio del trozo)

Punto de separación: en el trozo no incluye el extremo (): punto abierto ○ en .

Rama (si ):

Representamos la recta en el intervalo (tabla de valores)

Damos valores a dentro del dominio del trozo y calculamos :

Marcamos los puntos y los unimos.

Punto de separación: en el trozo incluye el extremo (): punto relleno ● en .

Apartado c)

Área del recinto

Tramo : la gráfica de es la rama (si ).

Área (regla de Barrow)

Calculamos la integral (una primitiva):

Sustituimos por los extremos y aplicamos Barrow:

Tramo : la gráfica de es la rama (si ).

Área (regla de Barrow)

Calculamos la integral (una primitiva):

Sustituimos por los extremos y aplicamos Barrow:

Recinto limitado por las curvas y las rectas ,

Se considera la función

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función en todo su dominio.

b) Represente gráficamente la función .

c) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función , el eje de abscisas y las rectas y .