Resolver Ecuaciones Matriciales sin aplicar la inversa

Resolver ecuaciones matriciales sin conocer la inversa

 Nos dan una ecuación matricial
 Averiguamos la dimensión de la matriz incógnita
 Asignamos incógnitas (a, b, c, ..) a los elementos de la matriz desconocida.
 Expresamos la ecuación matricial con matrices (con sus elementos)
 Resolvemos las operaciones con matrices, a izquierda y derecha del signo igual, hasta que nos quede una sola matriz a ambos lados del signo igual.
 Aplicamos la igualdad de matrices: igualamos elemento a elemento.
 Resolvemos las ecuaciones resultantes (normalmente son ecuaciones individuales de primer grado o grupos de sistemas de ecuaciones).

Veamos un ejemplo:

Sean las matrices
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 1 & 0
  \\ 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
y
B=
\left(
\begin{array}{cc}
     3 & -1
  \\ 1 & 2
\end{array}
\right)

Resuelva la siguiente ecuación matricial A \cdot A^t \cdot X = B

 Deducimos que la matriz X es de orden 2 \times 2 (puesto que A \cdot A^t es de 2x2 y B es también de 2x2)
 Asignamos letras a los elementos de la matriz X
X=
\left(
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ c & d
\end{array}
\right)
 Expresamos la ecuación matricial A \cdot A^t \cdot X = B en forma de matrices con todos sus elementos:

\left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 1 & 0
  \\ 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
 \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
     0 & 1 
  \\ 1 & 0
  \\ 0 & 1
\end{array}
\right)
 \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ c & d
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
     3 & -1
  \\ 1 & 2
\end{array}
\right)

 Hacemos las operaciones con matrices. A la izquierda del signo igual tenemos que hacer dos productos. A la derecha no hay que hacer nada porque ya tenemos una sola matriz.

A \cdot A^t = \left(
\begin{array}{ccc}
     0 & 1 & 0
  \\ 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
 \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
     0 & 1 
  \\ 1 & 0
  \\ 0 & 1
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{cc}
     1 & 0
  \\ 0 & 2
\end{array}
\right)

A \cdot A^t \cdot X= \left(
\begin{array}{cc}
     1 & 0
  \\ 0 & 2
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ c & d
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ 2c & dd
\end{array}
\right)

 Planteamos la igualdad final:
A \cdot A^t \cdot X = B
\left(
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ 2c & dd
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
     3 & -1
  \\ 1 & 2
\end{array}
\right)

 Igualamos elemento a elemento:
\left\{
\begin{array}{l}
     a =3 \rightarrow \fbox{a=3}
  \\ b = -1 \rightarrow \fbox{b=-1}
  \\ 2c = 1 \rightarrow \fbox{c=1/2}
  \\ 2d = 2 \rightarrow \fbox{d=1}
\end{array}
\right.

Por tanto, la matriz es la siguiente \fbox{X=
\left(
\begin{array}{cc}
     3 & -1
  \\ 1/2 & 1
\end{array}
\right)}