Optimización descomponer 12 en dos sumandos positivos

Ejercicios_Resueltos optimización

Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.

SOLUCIÓN

Datos: $12 = x+y$

Función a optimizar: $x \cdot y^2$

Expresamos la función a optimizar con una sola variable

$12 = x+y \longrightarrow y=12-x$

$f(x)=x \cdot (12-x)^2$
$f(x)=x \cdot (144+x^2-24x)$
$f(x)=144x + x^3 -24x^2$
$f(x)=x^3 -24x^2+144x$

Las soluciones de $f^\prime(x)=0$ son los candidatos a máximos o mínimos

$f^\prime(x)=3x^2-48x+144$

$f^\prime(x)=0 \longrightarrow 3x^2-48x+144=0$
$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{48+24}{6}=12\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-48)\pm \sqrt{(-48)^2-4 \cdot3\cdot144}}{2 \cdot3}= \frac{48\pm \sqrt{576}}{6}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{48-24}{6}=4\end{array}$

La solución x=12 la descartamos (pues el otro número sería 0 y el producto valdría 0)

Veamos si x=4 es máximo

$f^\prime\prime(x)=6x-48$
$f^\prime\prime(4)=6 \cdot 4-48 = -24 < 0 \longrightarrow x=4$ es MAX

Por tanto los números son $\fbox{4}$ y $\fbox{8}$

Comentar el ejercicio