Monotonía y extremos

Lunes 25 de febrero de 2019, por dani

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento seguimos el procedimiento descrito en la teoría.

$f\textsc{\char13}(x)=-3x^2+4 = 0 \rightarrow x^2=\frac{4}{3} \rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$
Los intervalos a considerar serían:
$\left(-\infty,-\sqrt{\frac{4}{3}}\right) \qquad \left(-\sqrt{\frac{4}{3}}, \sqrt{\frac{4}{3}} \right) \qquad \left(\sqrt{\frac{4}{3}}, +\infty \right)$
Tomamos un punto de cada intervalo y le aplicamos la derivada (si da positivo crece, y si da negativo decrece)

$-2 \in \left(-\infty,-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)$
$f\textsc{\char13}(-2)=(-3)\cdot (-2)^2+4 = -8 < 0 \rightarrow$ DECRECE

$0 \in \left(-\sqrt{\frac{4}{3}}, \sqrt{\frac{4}{3}} \right)$
$f\textsc{\char13}(0)=(-3)\cdot (0)^2+4 = 4 > 0 \rightarrow$ CRECE

$+2 \in \left(\sqrt{\frac{4}{3}}, +\infty \right)$
$f\textsc{\char13}(2)=(-3)\cdot 2^2+4 = -8 < 0 \rightarrow$ DECRECE

Extremos

Dado que es una función continua (es polinómica) podemos obtener los extremos a partir del estudio hecho para la monotonía.

Si CRECE en $\left(-\infty,-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)$ y DECRECE en $\left(-\sqrt{\frac{4}{3}}, \sqrt{\frac{4}{3}} \right)$ al ser continua tiene un máximo en $x= -\sqrt{\frac{4}{3}}$