Límite con parámetros

, por dani

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Si sustituimos x por a obtenemos:

\lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{ax^3+a^2x^2-2a^4}{x^2-b^2}=\frac{a \cdot a^3+a^2 \cdot a^2-2a^4}{a^2-b^2}=\frac{0}{a^2-b^2}=5

Eso no es posible salvo que el límite de una indeterminación del tipo 0/0 por lo que a^2-b^2=0 \longrightarrow a^2=b^2.

La indeterminación se resuelve dividiendo numerador y denominador por (x-a)

\lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{ax^3+a^2x^2-2a^4}{x^2-b^2}=\lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{\frac{ax^3+a^2x^2-2a^4}{x-a}}{\frac{x^2-b^2}{x-a}}

Para la división del numerador podemos aplicar RuFfini

\polyhornerscheme[x=a,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{ax^3+a^2x^2-2a^4}

El cociente de la división es ax^2+2a^2x+2a^3

Para la división del denominador aplicamos los productos notables

\frac{x^2-b^2}{x-a}=\frac{x^2-a^2}{x-a}=\frac{(x+a)(x-a)}{x-a} = x+a

Entonces el límite nos quedaría:

\lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{ax^2+2a^2x+2a^3}{x+a}=\frac{a \cdot a^2+2a^2 \cdot a+2a^3}{a+a} = \frac{5a^2}{2a}=\frac{5a^2}{2}

Como tiene que valer 5 tenemos que:

\frac{5a^2}{2}=5 \longrightarrow 5a^2=10 \longrightarrow a^2=2

Por tanto a^2=b^2=2 \longrightarrow \fbox{a = \pm \sqrt{2}} y \fbox{b= \pm \sqrt{2}}

Calcula los valores reales de a y b para que se cumpla la siguiente igualdad: \lim\limts_{x \rightarrow a} \frac{ax^3+a^2x^2-2a^4}{x^2-b^2}=5