Estudio Global de Funciones

, por dani

|

Estudio global de f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}

Dominio

x^2-1=0 \longrightarrow x^2=1 \longrightarrow x=\pm 1

\textcolor{blue}{Dom(f)= R - \{-1,1\}}

Simetrías

f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}
f(-x) = \frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1}=f(x)

Es una función PAR (simétrica respecto al eje OY)

Corte con los ejes de coordenadas

x=0 \longrightarrow y=\frac{0^2+1}{0^2-1}=-1
Punto de corte \textcolor{blue}{(0,-1)}

y=0 \longrightarrow 0=\frac{x^2+1}{x^2-1} \longrightarrow 0=x^2+1 \longrightarrow -1=x^2 (sin soluciones reales).
No hay corte con el eje OX

Asíntotas verticales

x^2-1=0 \longrightarrow x^2=1 \longrightarrow x=\pm 1

\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0} \longrightarrow \infty
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0} \longrightarrow \infty

Tiene dos asíntotas verticales: \textcolor{blue}{x=-1} y \textcolor{blue}{x=1}

Veamos el comportamiento de la función en las proximidades de las asíntotas

\lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^+} = +\infty
\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^-} = -\infty
\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^-} = -\infty
\lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^+} = +\infty

Asíntotas horizontales

\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1} = 1

Tiene asíntota horizontal \textcolor{blue}{y=1} a ambos lados.

Asíntotas oblicuas

No hay asíntota oblicuas (es incompatible con la A. Horizontal)

Monotonía y extremos

f^{\prime}(x) = \frac{2x(x^2-1)-(x^2+1)2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}

f^{\prime}(x) = 0 \longrightarrow \frac{-4x}{(x^2-1)^2}= 0 \longrightarrow -4x=0 \longrightarrow x=0

Para definir los intervalos, además de x=0 que acabamos de calcular, debemos considerar los puntos que no pertenecen al dominio: x=-1 y x=1

Los intervalos a considerar son

(-\infty,-1) (-1,0) (0,1) (1,+\infty)

Analizamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos, para ello tomamos un punto de cada intervalo, le aplicamos la derivada y miramos el signo.

f^{\prime}(-2) =\frac{-4 \cdot (-2)}{\left((-2)^2-1\right)^2} > 0 \longrightarrow CRECE
Observe que el denominador siempre será positivo, al ser un cuadrado

f^{\prime}(-0.5) =\frac{-0.5 \cdot (-2)}{+} > 0 \longrightarrow CRECE

f^{\prime}(0.5) =\frac{0.5 \cdot (-2)}{+} < 0 \longrightarrow DECRECE

f^{\prime}(2) =\frac{2 \cdot (-2)}{+} < 0 \longrightarrow DECRECE

La monotonía queda así:

(-\infty,-1) (-1,0) (0,1) (1,+\infty)
\nearrow \nearrow \searrow \searrow

El estudio de la monotonía junto a la continuidad de la función otorgan un máximo local en x=0

MAX(0,-1)

Con todo lo anterior, podemos ya dibujar la gráfica.
Si no lo tiene claro aún, puede darle algunos valores para dibujar unos cuantos puntos que nos ayuden a dibujar la gráfica.

Realiza un estudio global (dominio, simetrías, corte con los ejes, asíntotas, monotonía, extremos y representación gráfica) de la función:
f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}