Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Durante una exhibición, una avioneta debe de realizar una maniobra llamada «vuelo rasante», la cual debe iniciar a una cierta altura para no chocar con el suelo. La maniobra tiene forma parabólica y esta se modela mediante la función $h(x) = 0.5x^2 - 6x + h_0$ , siendo $x$ el tiempo en segundos y $h(x)$ la altura en metros.
Se tienen dos propuestas para la altura $h_0$ en que el piloto debe iniciar la maniobra, la propuesta 1 es que $h_0$ sea $18$ metros y la propuesta 2 es que $h_0$ sea $20$ .

Determine cuál de las dos propuestas es segura para que el piloto pueda realizar la maniobra e indique a cuántos metros éste llega a la altura mínima.

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Una estructura metálica tiene la forma de dos arcos parabólicos como muestra la figura. La altura del arco mayor es de 25 metros y su base mide 18 metros, mientras que la altura del arco menor es de 18 metros y su base mide 12 metros. Ambos arcos están unidos por 5 soportes equidistantes. Hallar la longitud total de los soportes.

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Un agente antibacteriano agregado a una población de bacterias causa disminución en el tamaño de esta. Si la población t minutos después de agregado el agente es $Q(t)=Q_0 \cdot 2^{\frac{-t}{3}}$ , donde $Q_0$ representa la cantidad inicial. Determine:

– a) La función de cambio de la población en el tiempo t si la población inicial es de $10^6$ bacterias.

– b) ¿Después de qué periodo de tiempo la población ha disminuido $10^3$ unidades?

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La temperatura de un pastel que se saca a enfriar de un horno a 200 grados centígrados, es una función del tiempo (medida en minutos) dada por

$T(t)=(T_A-T_H) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + T_H$

donde $T_A=20$ es la temperatura ambiente a la que inicialmente se colocó el pastel, $T_H=200$ es la temperatura del horno.

– a) Si después de 10 minutos el pastel está a 40 grados, calcula la constante $k$
– b) Encuentra la rapidez (en grados/minutos) con la que decrece la temperatura, cuando recién se saca del horno.
– c) Describe que pasa con la temperatura del pastel para $t$ muy grande

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El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, viene dado por la función

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} -x^2+7x & si & 0 \leq x \leq 5 \\ \\ 10 & si &5 < x \leq 8 \end{array} \right.$

donde x representa el tiempo transcurrido en años.

– a) Representa gráficamente la función
– b) Explica cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años y calcula cuándo el beneficio esperado es de 11,25 millones de euros.

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Lanzamos verticalmente un cohete. La altura $y$ (en metros) a la que se encuentra en cada instante $x$ (en segundos) viene determinada por la función: $y = -5x^2 + 500x$ . Se pide:

– a) Dibuja la gráfica de la función
– b) Indica cuál es su dominio
– c) ¿Cuánto tiempo pasará para que alcance su altura máxima? ¿Cuál será esa altura máxima?
– d) ¿En qué intervalo de tiempo estará a una altura mayor de 4.500 metros?

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La parábola de ecuación $y = x^2 + bx + 10$ tiene su vértice en el punto $(3,1)$ .

– a) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas
– b) Averigua el valor de $b$
– c) Dibuja la gráfica de la función

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La parábola $y = ax^2 + bx + c$ tiene su vértice en el punto $(3, 2)$ y se sabe que $a < 0$ y que pasa por el $(0,0)$ . Calcula tres puntos más por donde pase dicha parábola.

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El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la función:

$f(t)=-4t^2+60t-15 \:,\:\:\:\:\:\: 1 \leq t \leq 8$

– a) ¿Cuál será el valor de las existencias para $t=2$ ? ¿Y para $t=4$ ?
– b) ¿Cuál es el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcanza?
– c) ¿En qué instante el valor de las existencias es de 185000 euros?

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El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la función:

$B(x)=-0.01x^2+3.6x-180$

– a) Representa gráficamente esta función.
– b) Determina el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo.
– c) Determina cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no tenga pérdidas.

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José es beisbolista y le pega a la pelota con su palo a una altura de 1metro, ésta alcanza, a los 10 metros horizontales, una altura máxima de 11metros.
1) Encontrar la fórmula de la situación
2) ¿A cuántos metros de José cae la pelota?
3) ¿En qué momento sube la pelota y en cuál baja?
4) ¿Qué valores puede tomar x?. ¿Qué valores puede tomar y?
5) ¿Cuál fue la altura a los 6 metros horizontales?
6) ¿Cuántos metros horizontales recorre la pelota cuando está a 2 metros de altura?

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Un jugador patea un tiro libre, tal que la trayectoria de la pelota sigue la siguiente expresión $y=-0.05x^2+0.7x$ , donde $y$ es la altura en metros y $x$ la distancia horizontal.

– a) ¿A qué distancia la pelota vuelve a tocar el piso (Si no hay ningún obstáculo)?
– b) Si se coloca una barrera de altura máxima 1.8m a 9 metros del pateador ¿La pelota
pasa la barrera? Justifica la respuesta.

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Queremos fabricar una caja sin tapa con base cuadrada y con un área de $300 cm^2$ . Si queremos que el volumen sea máximo, ¿cuáles serían sus dimensiones?

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El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, $f(x)$ , dependen de la inversión, $x$ , según la función $f(x)=-x^2+11x-10$ . (x es la cantidad invertida en millones de euros).

– a) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa.
– b) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿A cuánto asciende éste?
– c) ¿Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo?

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Sea $P(t)$ el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo $t$ , medido en meses:

$P(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} t^2 & si & 0 \leq t \leq 5 \\ \\ \frac{100t-250}{t+5} & si & t >5 \end{array} \right.$

– a) Estudie la continuidad de la función P.
– b) Estudie la derivabilidad de P en $t =5$ .
– c) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
– d) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

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El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años de vida viene dado por la expresión $B(t)=\left\{ \begin{array}{lr} -0.04t^2+2.4t & 0 \leq t < 40 \\ & \\ \frac{40t-320}{t} & 40 \leq t \leq 50 \end{array} \right.$
donde $t$ es el tiempo transcurrido.

– a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $B(t)$ en el intervalo $[0,50]$ .
– b) Estudie la monotonía de la función $B(t)$ y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
– c) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

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Un tinaco tiene forma de un cono invertido unido con un cilindro. En la figura se muestra una sección del tinaco con sus dimensiones. Expresa el volumen en función de la altura.
Realizar una tabla donde se exprese el factor numérico de crecimiento utilizando la estructura de una función

📝 Ejercicios de problemas con funciones