Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Considera la recta r que pasa por el punto $A(1,-2,5)$ y lleva la dirección del vector $\vec{v}=(-2,-2,0)$
Se pide:

a) Halla su ecuación paramétrica.

b) Halla su ecuación continua.

c) Halla su ecuación implícita.

d) Estudia la posición relativa de la recta r respecto a la s:
$\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{2}=z-1$

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Estudia la posición relativa de las rectas:
$r: \: \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}$ y
$s: \: \frac{x-4}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2}$

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Estudia la posición relativa (y punto de corte en caso de ser secantes) de las rectas:
$r: \: \frac{x}{2}=y-1=\frac{z+1}{3} \: ; \quad s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x-2y-1=0 \\ 3y-z+1=0 \\ \end{array} \right.$

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Halla la posición relativa (y punto de corte si existe) de las rectas:
$r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=1-5 \lambda \\ y=2+3 \lambda \\ z=-5+ \lambda \\ \end{array} \right. \quad s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=1 \\ z= \lambda \\ \end{array} \right.$

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Considere las siguientes rectas:

$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1}$ y
$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.

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Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los posibles valores del parámetro $a$ , siendo:
$\pi_1= 4x+2y+2z=2a$
$\pi_2= ax+y+z=1$
$\pi_3= 2x+y+az=1$

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Estudia las posiciones relativas de la recta $r$ y el plano $\pi$ de ecuaciones:

$r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\y=t \\z=2+3t \end{array} \right. \qquad \pi \equiv 3x-y+2z+1=0$

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Estudia la posición relativa de la recta r y el plano $\alpha$ en los siguientes casos:

a) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2 + 3 \lambda \\ y & = & 2 \lambda \\ z & = & -2 +4 \lambda \end{array} \right. \qquad \alpha : 3x-y+2z+1=0$

b) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2t + 3 \\ y & = & t-1\\ z & = & t+2 \end{array} \right. \qquad \alpha : x-3y+z-8=0$

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Halla la posición relativa de las rectas:
$r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z}{4}$

$s \equiv \left\{ \begin{array}{ll} 2x+y-z-1=0 \\2x+3y-2z-3=0 \end{array} \right.$

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A la empresa de obras públicas North SA se le ha encargado la construcción de una autovía que una dos importantes ciudades andaluzas. El recorrido de la misma pasa por una montaña y por razones económicas se ha decidido atravesarla construyendo un túnel. Tú puedes echar una mano a los ingenieros implicados en el proyecto a la hora de afrontar los cálculos matemáticos necesarios para realizar la obra.

Se pide:

1. El túnel sigue la trayectoria marcada por los puntos A(-1,1,1) y B(1,2,1). Halla la recta que pasa por estos, a la cual vamos a llamar r.

2. Las laderas de la montaña vienen dadas por lo planos cuyas ecuaciones son:
$\alpha \equiv -9x-y+6z=21$ y $\beta \equiv 9x-y+6z=21$
Halla los puntos de intersección de la recta r con los planos, vamos a nombrar a estos puntos como E(entrada) y S(salida).

3. Halla la longitud del túnel (distancia entre E y S).

4. En la cima de la montaña se va a trazar otra carretera cuya trayectoria viene determinada por la intersección de los planos $\alpha$ y $\beta$ . Halla la intersección de los mismos, a la cual vamos a llamar s.

5 Para la ventilación del túnel se va a crear un pozo de impulsión que conecta la cima de la montaña con el túnel y se quiere saber cuál es la longitud del mismo, el pozo sigue la perpendicular que une las rectas r y s. Halla la distancia entre ambas rectas.

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Considera el sistema
$\left. \begin{array}{ccc} mx+y-z & = & 1 \\ x - my+ z & = & 4 \\ x + y+ mz & = & m \end{array} \right\}$

– (a) Discútelo según los valores de $m$
– (b) ¿Cuál es, según los valores de $m$ , la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?

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Se considera la recta $r$ definida por $mx = y = z+2$ , $(m \neq 0)$ , y la recta $s$ definida por $\frac{x-4}{4} = y -1 = \frac{z}{2}$

– (a) Halla el valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son perpendiculares.
– (b) Deduce razonadamente si existe algún valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son paralelas.

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Considera el punto $P(1,0,0)$ , la recta $r$ definida por $x-3=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-2}$ y la recta $s$ definida por $(x,y,z) = (1,1,0) + \lambda (-1, 2, 0)$ .

– (a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$
– (b) Halla la ecuación del plano que pasando por $P$ es paralelo a $r$ y $s$ .

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Considera los planos $\pi_1$ , $\pi_2$ y $\pi_3$ dados respectivamente por las ecuaciones
$x+y=1$ , $ay+z=0$ y $x+(1+a)y+az = a+1$
– a) ¿Cuánto ha de valer $a$ para que no tengan ningún punto en común?
– b) Para $a=0$ , determina la posición relativa de los planos.

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Considera las rectas

$r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3} \qquad \quad s \equiv \left\{ 2x -3 y = -5 \atop y -2z = -1 \right.$

– a) Estudia y determina la posición relativa de $r$ y $s$
– b) Calcula la distancia entre $r$ y $s$

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Considera las rectas

$r \equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{m}=z \qquad \quad s \equiv \left\{ x+nz = -2 \atop y -z = -3 \right.$

– a) Halla los valores de $m$ y $n$ para los que $r$ y $s$ se cortan perpendicularmente.
– b) Para $m=3$ y $n=1$ , calcula la ecuación general del plano que contiene a $r$ y $s$

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Considera la recta $r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}$
y los planos $\pi_1 \equiv x=0$ y $\pi_2 \equiv y=0$

– a) Halla los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$
– b) Determina la posición relativa de la recta $r$ y la recta de instersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$

📝 Ejercicios de posiciones_relativas