Perpendicular común a rectas que se cruzan

, por dani

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– a) Estudiaremos la posición relativa mediante el método de los vectores
Obtenemos un vector director de cada recta
r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow \vec{v_r}=(1,1,1)
s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow \vec{v_s}=(1,1,-1)

Ahora necesitamos un tercer vector formado por un punto de cada recta
– De la recta r \longrightarrow A(5,6,-1)
– De la recta s \longrightarrow A(1,0,-1)
Entonces \vec{AB}=(-4,-6,0)

Con los tres vectores formamos una matriz y analizamos su rango

M= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -4 & -6 & 0 \end{array} \right)

|M| = -4 \neq 0 \longrightarrow rg(M)=3 \longrightarrow se cruzan

– b) Para encontrar la perpendicular común a ambas rectas usaremos el método descrito en el siguiente vídeo

\vec{v_r}=(1,1,1)
\vec{v_s}=(1,1,-1)
Ahora necesitamos un punto genérico de cada recta. Para ello necesitamos las ecuaciones paramétricas:

r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x=5+\lambda \\ y=6+\lambda \\ z=-1+\lambda \end{array} \right.
Punto genérico de r \longrightarrow A(5+\lambda, 6+\lambda, -1+\lambda)

s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x=1+\mu \\ y=0+\mu \\ z=-1-\mu \end{array} \right.
Punto genérico de s \longrightarrow B(1+\mu, 0+\mu, -1-\mu)

\vec{AB} = \left( 1+\mu-(5+\lambda), \mu-(6+\lambda), -1-\mu-(-1+\lambda) \right)


\vec{AB} =( \mu-\lambda-4, \mu-\lambda-6, -\mu-\lambda )

El vector \vec{AB} tiene que ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas:

\vec{AB} \perp \vec{v_r} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_r} = 0
\vec{AB} \perp \vec{v_s} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_s} = 0
Por tanto:
(\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot 1= 0
(\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot (-1)= 0

Simplificando obtenemos estas dos ecuaciones:
\left. \mu - 3 \lambda -10 = 0 \atop 3\mu - \lambda -10 = 0 \right\}
Resolvemos el sistema y obtenemos como soluciones:

\lambda=\frac{-5}{2} \qquad ; \qquad \mu=\frac{5}{2}


Entonces el vector será:

\vec{AB} =( \mu-\lambda-4, \mu-\lambda-6, -\mu-\lambda )


\vec{AB} =\left( \frac{5}{2}-\frac{-5}{2}-4, \frac{5}{2}-\frac{-5}{2}-6, -\frac{5}{2}-\frac{-5}{2} \right)


\vec{AB} =\left( 1,-1,0 \right)

El punto A es entonces:

A(5+\lambda, 6+\lambda, -1+\lambda)


A\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{-7}{2} \right)

Con vector y punto ya podemos definir la ecuación de la perpendicular común

\left\{ \begin{array}{l} x= \frac{5}{2}+t \\ \\ y= \frac{7}{2}-t \\ \\ z= \frac{-7}{2} \end{array} \right.

Otra forma de hacerlo

De las ecuaciones de las rectas r y s podemos obtener punto y vector de cada recta
r \equiv \left\{ P_r(5,6,-1) \atop \vec{v_r}=(1,1,1) \right. \qquad s \equiv \left\{ P_s(1,0,-1) \atop \vec{v_s}=(1,1,-1) \right.
El vector \vec{v_r} \times \vec{v_s} nos servirá como vector director de la recta (p) perpendicular común (recordemos que el vector producto vectorial de dos vectores es perpendicular a cada uno de esos dos vectores).

Si lo calculamos obtenemos \vec{v_r} \times \vec{v_s} =(-2,2,0)
También podemos usar un vector proporcional \vec{w}=(-1,1,0)

Hallamos la perpendicular común como intersección de dos planos:
– plano 1 (\pi_1): contiene a r y es paralelo a \vec{w}
– plano 2 (\pi_2): contiene a s y es paralelo a \vec{w}

\pi_1 \equiv \left\{ \begin{array}{c} P_r(5,6,-1) \\ \vec{v_r}=(1,1,1) \\ \vec{w}=(-1,1,0) \end{array} \right. \quad \pi_2 \equiv \left\{ \begin{array}{c} P_r(1,0,-1) \\ \vec{v_r}=(1,1,-1) \\ \vec{w}=(-1,1,0) \end{array} \right.

Ahora podemos obtener la ecuación general de cada plano mediante determinantes y obtendremos:

\pi_1 \longrightarrow -x-y+2z+13=0
\pi_2 \longrightarrow x+y+2z+1=0

Por tanto, la ecuación de la perpendicular común (en ecuaciones implícitas) es:

\left. -x-y+2z+13=0 \atop x+y+2z+1=0 \right\}

Considere las siguientes rectas:

r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} y
s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.