Resolver Ecuaciones Matriciales sin aplicar la inversa

Resolver ecuaciones matriciales sin conocer la inversa

– Nos dan una ecuación matricial
– Averiguamos la dimensión de la matriz incógnita
– Asignamos incógnitas (a, b, c, ..) a los elementos de la matriz desconocida.
– Expresamos la ecuación matricial con matrices (con sus elementos)
– Resolvemos las operaciones con matrices, a izquierda y derecha del signo igual, hasta que nos quede una sola matriz a ambos lados del signo igual.
– Aplicamos la igualdad de matrices: igualamos elemento a elemento.
– Resolvemos las ecuaciones resultantes (normalmente son ecuaciones individuales de primer grado o grupos de sistemas de ecuaciones).

Veamos un ejemplo:

Sean las matrices
$A= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$
y
$B= \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$

Resuelva la siguiente ecuación matricial $A \cdot A^t \cdot X = B$

– Deducimos que la matriz $X$ es de orden $2 \times 2$ (puesto que $A \cdot A^t$ es de 2x2 y B es también de 2x2)
– Asignamos letras a los elementos de la matriz $X$
$X= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$
– Expresamos la ecuación matricial $A \cdot A^t \cdot X = B$ en forma de matrices con todos sus elementos:
$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$

– Hacemos las operaciones con matrices. A la izquierda del signo igual tenemos que hacer dos productos. A la derecha no hay que hacer nada porque ya tenemos una sola matriz.

$A \cdot A^t = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$

$A \cdot A^t \cdot X= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 2c & dd \end{array} \right)$

– Planteamos la igualdad final:
$A \cdot A^t \cdot X = B$
$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 2c & dd \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$

– Igualamos elemento a elemento:
$\left\{ \begin{array}{l} a =3 \rightarrow \fbox{a=3} \\ b = -1 \rightarrow \fbox{b=-1} \\ 2c = 1 \rightarrow \fbox{c=1/2} \\ 2d = 2 \rightarrow \fbox{d=1} \end{array} \right.$

Por tanto, la matriz es la siguiente $\fbox{X= \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1/2 & 1 \end{array} \right)}$

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