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Resolución de ecuaciones matriciales

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  ecuacion_matricialmatrices

Resolución de ecuaciones matriciales

Es importante recordar algunas propiedades en las que nos basaremos:
– el producto de matrices no es conmutativo
– A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A
– A \cdot I = A = I \cdot A

Para resolver las ecuaciones matriciales, primero despejamos la matriz incógnita y después realizamos las operaciones con matrices resultantes.

Veamos con algunos ejemplos de ecuaciones matriciales, cómo despejar la matriz incógnita:

– X+B=C
Las matrices que estén sumando o restando podemos pasarlas al otro miembro cambiando de signo (igual que en las ecuaciones con números)
\fbox{X=C - B}

– AX+B=C
AX=C - B
Multiplicamos por la inversa a la izquierda en ambos miembros:
A^{-1} \cdot AX=A^{-1} \cdot (C - B)
I \cdot X=A^{-1} \cdot (C - B)
\fbox{X=A^{-1} \cdot (C - B)}

– XA+B=C
En este ejemplo tenemos que hacerlo por la derecha
XA+B=C
XA=C-B
XA \cdot A^{-1}=(C-B) \cdot A^{-1}
\fbox{X=(C-B) \cdot A^{-1}}

– AXB+C=D
La matriz $X$ se encuentra multiplicada por una matriz por la izquierda y por otra por la derecha. Debemos multiplicar por la inversa correspondiente a cada lado.
- AXB=D-C (primero pasamos al lado derecho los sumandos)
- A^{-1} \cdot AXB \cdot B^{-1}=A^{-1} \cdot (D-C) \cdot B^{-1}
- \fbox{X=A^{-1} \cdot (D-C) \cdot B^{-1}}

– AX+BX+C=D
AX+BX=D-C (primero pasamos al lado derecho los sumandos)
Podemos sacar factor común porque en ambos términos la matriz X va multiplicando por la derecha
(A+B)X=D-C
multiplicamos por la inversa por la izquierda
(A+B)^{-1} \cdot (A+B)X=(A+B)^{-1} \cdot (D-C)
\fbox{X=(A+B)^{-1} \cdot (D-C)}

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Mensajes

  • muy bien explicado , gracias.

  • Hola,
    quería saber cómo se resuelve una ecuación matricial cuando en alguno de sus miembros tenemos AX + XB, es decir una matriz multplicando a X del lado izquierdo, y otra matriz multiplicándola del lado derecho. Espero haberme explicado. Muchas gracias. Saludos
    Emiliano

    • la x se saca es decir x ( a mas b ) y por ejemplo si es igual a c pues x es igual a c y a mas b es igual a c no se si me he explicado , soy estudiante de mates y asi es como se hace .

    • No es posible resolverlo haciendo operaciones con matrices y utilizando la inversa de alguna de ellas.
      Puedes resolverlo considerando incógnitas aisladas cada uno de los elementos de la matriz X. Si, por ejemplo, las matrices que intervienen en la ecuación indican que la matriz X titene que ser de orden 2x2, puedes llamar a, b, c y d a cada uno de los elementos de la matriz X y hacer las operaciones que aparecen en la ecuación. Después de simplificar todo y de igualar los elementos correspondientes de las matrices que aparecen en cada uno de los miembros tendrás un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

    • Dos puntualizaciones:
      1. Lo que tú explicas no sirve para ecuaciones matriciales, sólo si son números. Entre otras cosas, porque el producto de matrices no es conmutativo.
      2. En el caso de que se tratase de números, tu razonamiento sólo es válido si c=0. En cualquier otro caso, la solución sería incorrecta.

  • La ecuacion AX-3X=B es posible??? A es invertible

    • La ecuación matricial AX-3X=B se resolvería de la forma:

      (A - 3I) · X = B

      de donde:

      X = (A - 3I)^{-1} \cdot B

      Si suponemos |A| distinto de 0, el problema se reduce a demostrar que |A - 3I| es también distinto a cero.

    • El dato de que A es invertible no sirve para nada porque, aunque A lo sea, A-I puede serlo o no. En el caso de que lo sea, la solución es la que te dan en el otro comentario

  • Ayudemen con este ejercicio
    Si x.A=B,si
    A= 5 3 1
    1 -2 -2
    -5 2 1
    B= -8 3 0
    -5 9 0
    -2 15 0

  • Una explicación muy clara y útil, gracias

  • Buenas, me gustaría saber cual seria la solución de la ecuación matricial XA=XB.
    Agradeciria muchísimo si la respuesta fuese cuanto antes ya que me corre prisa.
    Muchas gracias de antemano. Un saludo

    • Saludos para poder resolver esa ecuación se puede hacer de dos maneras
      1) sabiendo a priori quien es A y B, luego darle valores a las entradas de X (diferentes variables) resolver ambos productos igualarlos y formar un sistema de ecuaciones.

      2) A o B deben cumplir la condición de ser Permutables con X.

  • como despejo esta ecuacion B + AX = X

  • Hola me gustaria saber como se resuelven los siguientes ejercicios:

    A*X-2B=C

    A*X=X-B
    B*X-A=C^t
    A*X-X= B*X+C
    X*A+X*B=C

    Un saludo!