Número de soluciones de una ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado puede tener:
– dos soluciones
– una solución
– ninguna solución real

Los distintos casos que se pueden dar dependen del discriminante (la expresión que hay dentro de la raíz en la fórmula general)

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$discriminante = b^2-4ac$

– Si $(b^2-4ac) >0 \longrightarrow 2$ soluciones
– Si $(b^2-4ac) =0 \longrightarrow 1$ solución
– Si $(b^2-4ac) <0 \longrightarrow 0$ soluciones reales

Ejemplo de 2 soluciones:

$x^2-5x+6=0$

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{5+1}{2}=3\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot1\cdot6}}{2 \cdot1}= \frac{5\pm \sqrt{1}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{5-1}{2}=2\end{array}$

Ejemplo de 1 solución:

$x^2-4x+4=0$

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{4+0}{2}=2\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot1\cdot4}}{2 \cdot1}= \frac{4\pm \sqrt{0}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{4-0}{2}=2\end{array}$

Ejemplo de 0 soluciones reales:

$x^2+x+2=0$

$x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4 \cdot1\cdot2}}{2 \cdot1}= \frac{-1\pm \sqrt{-7}}{2}$

No tiene soluciones reales

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