polinomios factorizar

Ejercicios_Resueltos factorizar_polinomios polinomios

Factoriza los polinomios:

– a) $x^3 - 5x^2 -5x + 25$
– b) $x^5 - 3x^4 - 9x^3 - 23x^2 - 12x$

SOLUCIÓN

Factorización de:

$x^{3}-5x^{2}-5x+25$

No hay factor común distinto de 1.

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (25):

$\pm 1,\ \pm 5,\ \pm 25$

$\color{red}{x=-25},\ \color{red}{x=-5},\ \color{red}{x=-1},\ \color{red}{x=1}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=5}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=5, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3-5x^2-5x+25}$

$\color{red}{x=5}\text{: ninguno es raíz de }x^{2}-5$

Cuando ya no podemos encontrar más raíces por Ruffini podemos resolver la ecuación de segundo grado:

Resolvemos $x^2-5=0$ por el método de las incompletas:

Despejamos $x^2$ :

$x^2 = 5$

$x = \pm\sqrt{5}$

$\boxed{x_1 = \sqrt{5} \qquad x_2 = -\sqrt{5}}$

Resultado final de la factorización:

$x^{3}-5x^{2}-5x+25 = \boxed{\left(x-5\right) \cdot \left(x-\sqrt{5}\right) \cdot \left(x+\sqrt{5}\right)}$

Factorización de:

$x^{5}-3x^{4}-9x^{3}-23x^{2}-12x$

Paso 1 — Factor común:

$x^{5}-3x^{4}-9x^{3}-23x^{2}-12x = x\left(x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-23x-12\right)$

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (-12):

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 4,\ \pm 6,\ \pm 12$

$\color{red}{x=-12},\ \color{red}{x=-6},\ \color{red}{x=-4},\ \color{red}{x=-3},\ \color{red}{x=-2},\ \color{red}{x=-1},\ \color{red}{x=1},\ \color{red}{x=2},\ \color{red}{x=3},\ \color{red}{x=4},\ \color{red}{x=6},\ \color{red}{x=12}\text{: ninguno es raíz de }x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-23x-12$

No hay raíces enteras; dejamos

$x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-23x-12$

como factor irreducible.

Resultado final de la factorización:

$x^{5}-3x^{4}-9x^{3}-23x^{2}-12x = \boxed{x \cdot \left(x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-23x-12\right)}$

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