ecuaciones logaritmicas

Jueves 15 de febrero de 2007, por dani

$\log{x} + \log{(x+20)} = 2$

$\log{\left( x \cdot (x+20) \right)} = 2$

$\log{\left(x \cdot (x+20)\right)} = \log{100}$

$x \cdot (x+20) = 100$

Resolvemos la ecuación de segundo grado.

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-20+\sqrt{800}}{2}\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-20\pm \sqrt{20^2-4 \cdot1\cdot(-100)}}{2 \cdot1}= \frac{-20\pm \sqrt{800}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-20-\sqrt{800}}{2}\end{array}$

Ahora debemos comprobar las soluciones, pues recordemos que en el argumento de un logaritmo no puede haber números menores o iguales a cero (no existe el logaritmo de números negativos ni de cero).
Simplificamos las soluciones para obtener un valor aproximado

$\sqrt{800} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{100} = \sqrt{8} \cdot 10 = \sqrt{2^3} \cdot 10 = 2 \sqrt{2} \cdot 10 = 20 \sqrt{2}$
Las soluciones quedarían:
– $x_1 = \frac{-20+\sqrt{800}}{2}= \frac{-20+20 \sqrt{2}}{2} = -10+10\sqrt{2} \approx 4.14$
– $x_2 = \frac{-20-\sqrt{800}}{2}= \frac{-20-20 \sqrt{2}}{2} = -10-10\sqrt{2} \approx -24.14$