Problema programación lineal bombones

, por dani

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Ponemos los datos en una tabla:

\begin{array}{c|c|c|c} &A&B&Restricciones \longrightarrow Inecuaciones \\\hline &&&\\chocolate&1kg&2kg&MAX \: 500kg \longrightarrow x+2y \leq 500 \\cacao&2kg&1kg&MAX \: 400kg \longrightarrow 2x+y \leq 400 \\almendras&&1kg&MAX \: 225kg \longrightarrow y \leq 225\\&&& \\\hline cantidad&x&y& \\\hline beneficio&300&240& \\\hline F(x,y)=2x+3y&&\end{array}

Por tanto el sistema de inecuaciones a resolver es el siguiente:

\left\{ \begin{array}{l} x+2y \leq 500 \\2x+y \leq 400 \\y\leq225\\x \geq 0 \\y \geq 0\end{array}\right.

Las rectas quedarían como en la siguiente imagen

Y la región factible será:

Calculamos los vértices y se obtine el resultado que aparece en la siguiente imagen:

Aplicamos la función objetivo a todos los vértices:

F(x,y)=2x+3y
F(0,0)=2 \cdot 0+3 \cdot 0 =0
F(0,225)=2 \cdot 0+3 \cdot 225 =675
F(50,225)=2 \cdot 50+3 \cdot 225 =775
F(100,200)=2 \cdot 100+3 \cdot 200 =800
F(200,0)=2 \cdot 200+3 \cdot 0 =400

La ganancia máxima es de 800 euros y se consigue fabricando 100 cajas de tipo A y 200 cajas de tipo B

Se desea fabricar dos tipos de cajas de bombones que llamaremos A y B. Las cajas de tipo A contienen 1 kg de chocolate y 2 kg de cacao; las de tipo B contienen 2 kg de chocolate, 1 kg de cacao y 1 kg de almendras. Por cada caja del tipo A se ganan 2 € y por cada caja del tipo B, 3 €. Se dispone de 500 kg de chocolate, 400 kg de cacao y 225 kg de almendras.
¿Cuántas cajas de cada tipo hay que fabricar para que la ganancia sea máxima?
¿A cuánto asciende esta ganancia máxima?