Hallar las raíces y factores de un polinomio

Ejercicios_Resueltos factorizar_polinomios raíces de polinomios

Halla las raíces y factores del polinomio $2x^3-5x^2-x+4$

SOLUCIÓN

Empezamos usando Ruffini

$\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{2x^3-5x^2-x+4}$

Con lo cual ya tenemos una raíz $x=1$ y dos factores: $(x-1)$ y $(2x^2-3x-4)$

El polinomio original se puede expresar como:
$2x^3-5x^2-x+4 = (x-1) \cdot (2x^2-3x-4)$

Vamos a comprobar si hay más raíces y factores intentando factorizar $2x^2-3x-4$ . Para ello resolvemos la ecuación de segundo grado $2x^2-3x-4=0$

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{3+\sqrt{41}}{4}\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot2\cdot(-4)}}{2 \cdot2}=\frac{3\pm \sqrt{41}}{4}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{3-\sqrt{41}}{4}\end{array}$

Hemos encontrado dos raíces más: $x=\frac{3+\sqrt{41}}{4}$ y $x=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$

El polinomio original completamente factorizado quedaría:

$2x^3-5x^2-x+4 = (x-1) \cdot 2 \cdot \left(x-\frac{3+\sqrt{41}}{4}\right) \cdot \left(x-\frac{3-\sqrt{41}}{4}\right)$

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