Ecuaciones racionales 3203

Resuelve la ecuación $\frac{x-2}{x} = \frac{4x-3}{x-2}$

SOLUCIÓN

Ecuación racional:

$\frac{x-2}{x} = \frac{4x-3}{x-2}$

Paso 1 · Dominio de la ecuación

Los denominadores no pueden ser cero:

$x \neq 0 \qquad x \neq 2$

Paso 2 · Multiplicamos en cruz

Al tener una sola fracción a cada lado, multiplicamos el numerador de cada uno por el denominador del otro:

$(x-2) \cdot ((x-2)) = (4x-3) \cdot (x)$

$x^{2} - 4x + 4 = 4x^{2} - 3x$

Pasamos todo al primer miembro:

$-3x^{2} - x + 4 = 0$

Paso 3 · Resolvemos la ecuación resultante

Con $a=-3$ , $b=-1$ , $c=4$ :

$\Delta = b^2-4ac = -1^2 - 4 \cdot -3 \cdot 4 = 1 + 48 = 49$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{-6}$

$x = \frac{1 \pm 7}{-6}$

$x_1 = \frac{-4}{3}$

$x_2 = 1$

Paso 4 · Verificamos las soluciones respecto al dominio

$x = \frac{-4}{3}$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$x = 1$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$\boxed{x_1 = \frac{-4}{3} \qquad x_2 = 1}$