Ecuaciones racionales 3202

Resuelve la ecuación $\frac{x+1}{x} - \frac{3x-1}{x+1} = - \frac{2}{3}$

SOLUCIÓN

Ecuación racional:

$\frac{x+1}{x} - \frac{3x-1}{x+1} = - \frac{2}{3}$

Paso 1 · Dominio de la ecuación

Los denominadores no pueden ser cero. Valores excluidos:

$x \neq 0 \qquad x \neq -1$

Paso 2 · Denominadores y MCM

Los denominadores presentes son: x, (x+1), 3.

$\text{MCM} = 3x(x+1)$

Paso 3 · Multiplicamos por el MCM para eliminar denominadores

Cada fracción, al multiplicarse por el MCM, cancela su denominador:

$\dfrac{(x+1) \cdot \cancel{x} \cdot 3(x+1)}{\cancel{x}} = (x+1) \cdot 3(x+1) = 3x^{2} + 6x + 3$

$\dfrac{(-3x-1) \cdot \cancel{(x+1)} \cdot 3x}{\cancel{(x+1)}} = (-3x-1) \cdot 3x = -9x^{2} + 3x$

$\dfrac{-2 \cdot \cancel{3} \cdot x(x+1)}{\cancel{3}} = -2 \cdot x(x+1) = -2x^{2} - 2x$

Paso 4 · Ecuación sin denominadores

$-6x^{2} + 9x + 3 = -2x^{2} - 2x$

Paso 5 · Resolvemos la ecuación resultante

Transponemos al primer miembro:

$-4x^{2} + 11x + 3 = 0$

Con $a=-4$ , $b=11$ , $c=3$ :

$\Delta = b^2-4ac = 11^2 - 4 \cdot -4 \cdot 3 = 121 + 48 = 169$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{-8}$

$x = \frac{-11 \pm 13}{-8}$

$x_1 = \frac{-1}{4}$

$x_2 = 3$

Paso 6 · Verificamos las soluciones respecto al dominio

$x = \frac{-1}{4}$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$x = 3$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$\boxed{x_1 = \frac{-1}{4} \qquad x_2 = 3}$