Ecuaciones racionales 3189

Resuelve la ecuación $\frac{6}{x} + \frac{x+1}{x-2} = 6$

SOLUCIÓN

Ecuación racional:

$\frac{6}{x} + \frac{x+1}{x-2} = 6$

Paso 1 · Dominio de la ecuación

Los denominadores no pueden ser cero. Valores excluidos:

$x \neq 0 \qquad x \neq 2$

Paso 2 · Denominadores y MCM

Los denominadores presentes son: x, (x-2).

$\text{MCM} = x(x-2)$

Paso 3 · Multiplicamos por el MCM para eliminar denominadores

Cada fracción, al multiplicarse por el MCM, cancela su denominador:

$\dfrac{6 \cdot \cancel{x} \cdot (x-2)}{\cancel{x}} = 6 \cdot (x-2) = 6x - 12$

$\dfrac{(x+1) \cdot \cancel{(x-2)} \cdot x}{\cancel{(x-2)}} = (x+1) \cdot x = x^{2} + x$

$6 \cdot x(x-2) = 6x^{2} - 12x$

Paso 4 · Ecuación sin denominadores

$x^{2} + 7x - 12 = 6x^{2} - 12x$

Paso 5 · Resolvemos la ecuación resultante

Transponemos al primer miembro:

$-5x^{2} + 19x - 12 = 0$

Con $a=-5$ , $b=19$ , $c=-12$ :

$\Delta = b^2-4ac = 19^2 - 4 \cdot -5 \cdot -12 = 361 - 240 = 121$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-19 \pm \sqrt{121}}{-10}$

$x = \frac{-19 \pm 11}{-10}$

$x_1 = \frac{4}{5}$

$x_2 = 3$

Paso 6 · Verificamos las soluciones respecto al dominio

$x = \frac{4}{5}$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$x = 3$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$\boxed{x_1 = \frac{4}{5} \qquad x_2 = 3}$