Ecuaciones racionales 3188

Resuelve la ecuación $\frac{x^2-x}{3x+1} = \frac{-x}{2x-1}$

SOLUCIÓN

Ecuación racional:

$\frac{x^2-x}{3x+1} = \frac{-x}{2x-1}$

Si multiplicamos en cruz obtenemos:

$(x^2-x) \cdot (2x-1) = (3x+1) \cdot (x)$

$2x^3+2x=0$

Sacamos factor común

$x(2x^2+2)=0$

Producto de factores igualado a cero, entonces:

$\boxed{x=0}$

$2x^2+2=0 \longrightarrow x^2=-1$

No tiene soluciones reales

La única solución es $\boxed{x=0}$ , válida porque no anula ningún denominador

Otrra forma de hacerlo:
Ecuación racional:

$\frac{x^2-x}{3x+1} = \frac{-x}{2x-1}$

Paso 1 · Dominio de la ecuación

Los denominadores no pueden ser cero. Valores excluidos:

$x \neq \frac{-1}{3} \qquad x \neq \frac{1}{2}$

Paso 2 · Denominadores y MCM

Los denominadores presentes son: (3x+1), (2x-1).

$(x^2-x) \cdot (2x-1) = (3x+1) \cdot (x)$

$\text{MCM} = (3x+1)(2x-1)$

Paso 3 · Multiplicamos por el MCM para eliminar denominadores

Cada fracción, al multiplicarse por el MCM, cancela su denominador:

$\dfrac{(x^2-x) \cdot \cancel{(3x+1)} \cdot (2x-1)}{\cancel{(3x+1)}} = (x^2-x) \cdot (2x-1) = 2x^{3} - 3x^{2} + x$

$\dfrac{-x \cdot \cancel{(2x-1)} \cdot (3x+1)}{\cancel{(2x-1)}} = -x \cdot (3x+1) = -3x^{2} - x$

Paso 4 · Ecuación sin denominadores

$2x^{3} - 3x^{2} + x = -3x^{2} - x$

$2x^{3} + 2x = 0$

El resultado es una ecuación de grado 3, ya sin denominadores.

Producto de factores igualado a cero, entonces:

$\boxed{x=0}$

$2x^2+2=0 \longrightarrow x^2=-1$

No tiene soluciones reales

La única solución es $\boxed{x=0}$ , válida porque no anula ningún denominador