Navega sin publicidad Regístrate GRATIS

Ecuaciones racionales 3187

ecuaciones ecuaciones_racionales Ejercicios_Resueltos

Resuelve la ecuación $\frac{2x^3-x^2-2x+25}{x^2-1} = 2x$

SOLUCIÓN

Ecuación racional:

$\frac{2x^3-x^2-2x+25}{x^2-1} = 2x$

Podemos multiplicar en cruz

$2x^3-x^2-2x+25 = 2x \cdot (x^2-1)$

$2x^3-x^2-2x+25 = 2x^3-2x$

$-x^2+25 = 0$

$\boxed{x_1 = -5 \qquad x_2 = 5}$

Veamos otra forma de hacer:lo
Ecuación racional:

$\frac{2x^3-x^2-2x+25}{x^2-1} = 2x$

Paso 1 · Dominio de la ecuación

Los denominadores no pueden ser cero. Valores excluidos:

$x \neq 1 \qquad x \neq -1$

Paso 2 · Denominadores y MCM

Los denominadores presentes son: (x-1)(x+1).

$\text{MCM} = (x-1)(x+1)$

Paso 3 · Multiplicamos por el MCM para eliminar denominadores

Cada fracción, al multiplicarse por el MCM, cancela su denominador:

$\dfrac{(2x^3-x^2-2x+25) \cdot \cancel{(x-1)} \cdot \cancel{(x+1)}}{\cancel{(x-1)} \cdot \cancel{(x+1)}} = (2x^3-x^2-2x+25)$

$2x \cdot (x-1)(x+1) = 2x^{3} - 2x$

Paso 4 · Ecuación sin denominadores

$2x^{3} - x^{2} - 2x + 25 = 2x^{3} - 2x$

Paso 5 · Resolvemos la ecuación resultante

Transponemos al primer miembro:

$-x^{2} + 25 = 0$

Con $a=-1$ , $b=0$ , $c=25$ :

$\Delta = b^2-4ac = 0^2 - 4 \cdot -1 \cdot 25 = 0 + 100 = 100$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{0 \pm \sqrt{100}}{-2}$

$x = \frac{0 \pm 10}{-2}$

$x_1 = -5$

$x_2 = 5$

Paso 6 · Verificamos las soluciones respecto al dominio

$x = -5$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$x = 5$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$\boxed{x_1 = -5 \qquad x_2 = 5}$

Comentar el ejercicio