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Ecuaciones racionales 3186

ecuaciones ecuaciones_racionales Ejercicios_Resueltos

Resuelve la ecuación $\frac{4}{x^4} + \frac{3-x^2}{x^2} = 0$

SOLUCIÓN

Ecuación racional:

$\frac{4}{x^4} + \frac{3-x^2}{x^2} = 0$

Paso 1 · Dominio de la ecuación

Los denominadores no pueden ser cero. Valores excluidos:

$x \neq 0$

Paso 2 · Denominadores y MCM

Los denominadores presentes son: x^4, x^2.

$\text{MCM} = x^{4}$

Paso 3 · Multiplicamos por el MCM para eliminar denominadores

Cada fracción, al multiplicarse por el MCM, cancela su denominador:

$\dfrac{4 \cdot \cancel{x^{4}}}{\cancel{x^{4}}} = 4$

$\dfrac{(3-x^2) \cdot \cancel{x^{2}} \cdot x^{2}}{\cancel{x^{2}}} = (3-x^2) \cdot x^{2} = -x^{4} + 3x^{2}$

$0 \cdot x^{4} = 0$

Paso 4 · Ecuación sin denominadores

$-x^{4} + 3x^{2} + 4 = 0$

El resultado es una ecuación de grado 4, ya sin denominadores.

Se trata de una ecuación bicuadrada

Resolvemos la ecuación bicuadrada:

$-x^4+3x^2+4=0$

Hacemos el cambio de variable $t = x^2$ (con $t \geq 0$ ):

$-t^2+3t+4=0$

Calculamos el discriminante:

$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 = 25$

Las soluciones para $t$ son:

$\begin{array}{ccc} & & t_1 = \frac{-3+5}{-2} = -1\\ & \nearrow & \\t = \frac{-3\pm5}{-2} & & \\ & \searrow & \\ & & t_2 = \frac{-3-5}{-2} = 4\end{array}$

Deshacemos el cambio de variable $x^2 = t$ :

$t_1 = -1 < 0$ → no hay soluciones reales para $x^2 = -1$

Como $t_2 = 4 > 0$ : $\quad x^2 = 4$

$x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$

$\boxed{x_1 = 2}$

$\boxed{x_2 = -2}$

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