Ecuaciones racionales 3185

Resuelve la ecuación $\frac{1}{x+1} + x = \frac{2x+7}{x+1}$

SOLUCIÓN

Ecuación racional:

$\frac{1}{x+1} + x = \frac{2x+7}{x+1}$

Paso 1 · Dominio de la ecuación

Los denominadores no pueden ser cero. Valores excluidos:

$x \neq -1$

Paso 2 · Denominadores y MCM

Los denominadores presentes son: (x+1).

$\text{MCM} = (x+1)$

Paso 3 · Multiplicamos por el MCM para eliminar denominadores

Cada fracción, al multiplicarse por el MCM, cancela su denominador:

$\dfrac{1 \cdot \cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}} = 1$

$x \cdot (x+1) = x^{2} + x$

$\dfrac{(2x+7) \cdot \cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}} = (2x+7)$

Paso 4 · Ecuación sin denominadores

$x^{2} + x + 1 = 2x + 7$

Paso 5 · Resolvemos la ecuación resultante

Transponemos al primer miembro:

$x^{2} - x - 6 = 0$

Con $a=1$ , $b=-1$ , $c=-6$ :

$\Delta = b^2-4ac = -1^2 - 4 \cdot 1 \cdot -6 = 1 + 24 = 25$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$

$x = \frac{1 \pm 5}{2}$

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Paso 6 · Verificamos las soluciones respecto al dominio

$x = 3$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$x = -2$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$\boxed{x_1 = 3 \qquad x_2 = -2}$