Ecuaciones de la circunferencia

cónicas

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia (r) de un punto (C) llamado centro.
A esa distancia (r) le llamamos radio.

Ecuación canónica de la circunferencia

Vamos a deducir la ecuación de la circunferencia.
Dibujamos una circunferencia de centro $C(a,b)$ y radio $r$ .
Dibujamos un punto cualquiera $P(x,y)$ de la circunferencia

**Ecuación de la circunferencia**

Deducción de la ecuación de una circunferencia

En el triángulo rectángulo de la imagen aplicamos Pitágoras

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Es la ecuación canónica (o reducida) de la circunferencia de centro (a,b) y radio r

Otra forma de deducir la ecuación de la circunferencia es mediante distancias:
$d(C,P) = r$
$|\vec{CP}| = r$
$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} = r$
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Ecuación general de la circunferencia

A partir de la ecuación canónica, si quitamos paréntesis y ordenamos la expresión, obtendríamos:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$x^2+a^2-2ax+y^2+b^2-2by=r^2$
$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$
Si hacemos los cambios:
$D=-2a$
$E=-2b$
$F=a^2+b^2-r^2$
podemos expresarla como:

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$

lo que se conoce como ecuación general de la circunferencia

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