Ecuaciones Exponenciales

Resuelve la ecuación
$2^{x+2} + 4^{x+1} = 80$

SOLUCIÓN

Ecuación exponencial

$2^{x+2} + 4^{x+1} = 80$

Reducimos a base 2:

$2^{x+2}+2^{2x+2}-80=0$

Absorbemos los exponentes constantes:

$4\cdot2^{x}+4\cdot2^{2x}-80=0$

$4\cdot \left(2^x\right)^2+4\cdot 2^x-80=0$

Cambio de variable (ecuación cuadrática en $2^x$ ):

Cambio de variable: sea $t=2^x$ (con $t>0$ ).

$4t^2+4t-80=0$

Discriminante: $\Delta=4^2-4\cdot4\cdot(-80)=1296$

$t=\frac{-(4)\pm36}{2\cdot4}$

$t_1=4$ →

$2^{x}=2^{2}$

Igualamos los exponentes:

$x=2$

$\boxed{x=2}$

$t_2=-5$ → sin solución ( $t\leq 0$ , pero $2^x>0$ ).