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Ecuaciones Exponenciales

ecuaciones ecuaciones_exponenciales Ejercicios_Resueltos

Resuelve la ecuación:
$2^x + 2^{1-x} = 3$

SOLUCIÓN

Ecuación exponencial

$2^x + 2^{1-x} = 3$

Absorbemos los exponentes constantes:

$2^{x}+2\cdot2^{-x}-3=0$

Multiplicamos por $2^x$ :

$\left(2^x\right)^2-3\cdot 2^x+2=0$

Cambio de variable: sea $t=2^x$ (con $t>0$ ).

$t^2-3t+2=0$

Discriminante: $\Delta=-3^2-4\cdot1\cdot(2)=1$

$t=\frac{-(-3)\pm1}{2\cdot1}$

$t_1=2$ →

$2^{x}=2^{1}$

Igualamos los exponentes:

$x=1$

$\boxed{x=1}$

$t_2=1$ →

$2^{x}=2^{0}$

Igualamos los exponentes:

$x=0$

$\boxed{x=0}$

Otra forma

$2^x + 2^{1-x} = 3$

$2^x + \frac{2}{2^x} = 3$

Hacemos el cambio $2^x = t$

Resolvemos en t y llegamos a la misma ecuación que antes:

$t^2-3t+2=0$

Discriminante: $\Delta=-3^2-4\cdot1\cdot(2)=1$

$t=\frac{-(-3)\pm1}{2\cdot1}$

$t_1=2$ →

$2^{x}=2^{1}$

Igualamos los exponentes:

$x=1$

$\boxed{x=1}$

$t_2=1$ →

$2^{x}=2^{0}$

Igualamos los exponentes:

$x=0$

$\boxed{x=0}$

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