Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Considera el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{rcc} 2x-2y+4z & = & 4 \\ 2x + z & = & a \\ -3x -3y+ 3z & = & -3 \end{array} \right\}$

– a) Discútelo según los valores del parámetro $a$
– b) Resuélvelo cuando sea posible

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Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones:

$x+y \ge 2$ , $\: x+3y \le 15$ , $\: 3x-y \le 15$ , $\: x \ge 0$ , $\: y \ge 0$

– (a) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices
– (b) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función $F(x,y)=3x+y$ en dicho recinto
– (c) Razone si existen puntos (x,y) del recinto, para los que $F(x,y)=30$

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Sean las matrices
$A= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad \quad B=\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Efectúe, si es posible, los siguientes productos:

– a1) $A \cdot A^t$
– a2) $A^t \cdot A$
– a3) $A \cdot B$

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial $A \cdot A^t \cdot X = B$

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Dado el sistema de ecuaciones lineales
$\left. \begin{array}{rcc} - \lambda x + y+ z & = & 1 \\ x + \lambda y +z & = & 2 \\ \lambda x + y+ z & = & 1 \end{array} \right\}$

– a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro $\lambda$
– b) Resuelve el sistema para $\lambda = 0$

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Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{cc} \lambda +1 & 0 \\ 1 & -1 \end{array} \right)$

– a) Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A^2+3A$ no tiene inversa.
– b) Para $\lambda =0$ , halla la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 2.

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Sea la función $f \: : \: R \: \longrightarrow \: R$ definida por $f(x)=e^x (x^2-x+1)$

– a) Calcula $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ y $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)$
– b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
– c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $f$ .

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Se considera la función $f(x)=1-\frac{2}{x+2}$

– a) Determine la monotonía y curvatura de la función.
– b) Calcule sus asíntotas.
– c) Represéntela gráficamente.

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Se ha impartido un curso de “conducción eficiente” a 200 personas. De los asistentes al curso, 60 son profesores de autoescuela y, de ellos, el 95% han mejorado su conducción. Este porcentaje baja al 80%en el resto de los asistentes. Halle la probabilidad de que, elegido un asistente al azar:
– a) No haya mejorado su conducción.
– b) No sea profesor de autoescuela, sabiendo que ha mejorado su conducción.

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Sea $P(t)$ el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo $t$ , medido en meses:

$P(t)= \left\{ \begin{array}{lcc} t^2 & si & 0 \leq t \leq 5 \\ \\ \frac{100t-250}{t+5} & si & t >5 \end{array} \right.$

– a) Estudie la continuidad de la función P.
– b) Estudie la derivabilidad de P en $t =5$ .
– c) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.
– d) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

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Una compañía de seguros ha hecho un seguimiento durante un año a 50000 coches de la marca A, a 20000 de la marca B y a 30000 de la C, que tenía asegurados, obteniendo que, de ellos, habían tenido accidente 650 coches de la marca A, 200 de la B y 150 de la C. A la vista de estos datos:
– a) ¿Cuál de las tres marcas de coches tiene menos proporción de accidentes?
– b) Si, elegido al azar uno de los coches observados, ha tenido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca C?

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De un paralelogramo $ABCD$ conocemos tres vértices consecutivos: $A(2, -1, 0)$ , $B(-2, 1, 0)$ y $C(0, 1, 2)$ .

– a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.
– b) Halla el área de dicho paralelogramo.
– c) Calcula el vértice $D$

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En una localidad hay solamente dos supermercados A y B. El 58% de los habitantes compra en el A, el 35% en el B y el 12% compra en ambos. Si se elige un ciudadano al azar, calcule la probabilidad de que:
– a) Compre en algún supermercado.
– b) No compre en ningún supermercado.
– c) Compre solamente en un supermercado.
– d) Compre en el supermercado A, sabiendo que no compra en B.

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Considera el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccccc} x &+ y&+ kz & = & 1 \\ 2x& + ky & &= & 1 \\ &y&+ 2z & = & k \end{array} \right\}$

– a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro $k$
– b) Resuélvelo para $k=1$
– c) Resuélvelo para $k=-1$

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Considera el punto $P(1,0,2)$ y la recta $r$ dada por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} 2x-y-4=0 \\y+2z-8=0 \end{array} \right.$
– a) Calcula la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$
– b) Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$

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Se consideran las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & \lambda \\1 & -1 &-1 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\\lambda & 0 \\0 & 2 \end{array} \right)$
donde $\lambda$ es un número real.

– a) Encontrar los valores de $\lambda$ para los que la matriz $AB$ tiene inversa
– b) Dados $a$ y $b$ números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema $A \left( \begin{array}{c} x \\y \\z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\b \end{array} \right)$ compatible determinado con $A$ la matriz del enunciado?.

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Teniendo en cuenta que
$\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array} \right| = 7$ ,

calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo

$\left| \begin{array}{ccc} 3a & 3b & 3c \\ a+p & b+q & c+r \\ -x+a & -y+b & -z+c \end{array} \right|$

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La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos
ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuantos partidos gano, empató y perdió el equipo campeón?

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a) Hallar los valores de $a$ y $b$ para que la función
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} 3x+2 & si & x < 0\\ x^2+2acosx & si & 0 \leq x < \pi\\ ax^2+b & si & x \geq \pi \end{array} \right.$
sea continua para todo valor de $x$

b) Estudia la derivabilidad para los anteriores valores de $a$ y $b$

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Resuelve por el método de Gauss el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{lcc} x + 2y + z = 6\\ x - y - z = -12\\ 2x - y + z = -11 \end{array} \right.$

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Un cajero tiene 188 billetes que suponen un importe total de 7360 euros. Sabiendo que sólo dispone de dos tipos de billetes (de 50 euros y de 20 euros), plantea y resuelve un sistema de ecuaciones que te permita averiguar cuántos billetes tiene de cada tipo

📝 Ejercicios de PIZARRA