Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} x & 1 \\ 1 & x+1 \end{array} \right)$
$\qquad$
$B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$

– a) Encuentre el valor o valores de x de forma que $B^2 = A$
– b) Igualmente para que $A - I_2 = B^{-1}$
– c) Determine x para que $A \cdot B = I_2$

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Un Ayuntamiento concede licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B.
Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A de 100000 euros y la de tipo B 300000 euros.
Si el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20000 euros y por una de tipo B a 40000 euros, ¿cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener un beneficio máximo?

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Sean las matrices
$A =\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ ,
$B =\left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ x & 0 \end{array} \right)$ y
$C =\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$

– (a) Encuentre el valor o valores de $x$ de forma que $B^2=A$
– (b) Igualmente para $B+C=A^{-1}$
– (c) Determine $x$ para que $A+B+C=3 \cdot I_2$

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Consideramos el recinto del plano limitado por las siguientes inecuaciones:

$y-x \le 4 ; \quad y+2x \ge 7 ; \quad -2x-y+13 \ge 0 ; \quad x \ge 0 ; \quad y \ge 0$

– (a) Represente el recinto y calcule sus vértices.
– (b) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los valores máximo y mínimo la función $F(x,y)=4x+2y-1$

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– (a) Calcula el valor de $m$ para el que la matriz
$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & m\end{array} \right)$
verifica la relación $2A^2-A=I$ y determina $A^{-1}$ para dicho valor de $m$

– (b) Si $M$ es una matriz cuadrada que verifica la relación $2M^2-M=I$ , determina la expresión de $M^{-1}$ en función de $M$ y de $I$ .

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Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones para ls valores de $m$ que lo hacen compatible:
$\left. \begin{array}{ccc} x+my & = & m \\ mx+ y & = & m \\ mx+my & = & 1 \end{array} \right\}$

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(a) Represente gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones:
$2x+y \le 6 ; \quad 4x+y \le 10 ; \quad -x+y \le 3 ; \quad x \ge 0 ; \quad y \ge 0$

(b) Calcule el máximo de la función $f(x,y) = 4x+2y-3$ en el recinto anterior e indique dónde se alcanza.

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Dada la función $f$ definida, para $x \neq 0$ , por $f(x) = \frac{e^x+1}{e^x-1}$ determina las asíntotas de su gráfica.

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Sea $g : R \longrightarrow R$ la función definida por $g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x$ .

– (a) Esboza la gráfica de $g$
– (b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto de abscisa $x=2$
– (c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $g$ y el eje de abscisas.

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Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & k\\ k & 1 & 3\\ 1 & 7 & k \end{array} \right)$

– (a) Estudia el rango de $A$ en función de los valores del parámetro $k$ .
– (b) Para $k = 0$ , halla la matriz inversa de $A$ .

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Considera los puntos $A(2, 0, 1)$ , $B(-1, 1, 2)$ , $C(2, 2, 1)$ y $D(3, 1, 0)$ .

– (a) Calcula la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $B$ , $C$ y $D$
– (b) Halla el punto simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$ .

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En un examen de Matemáticas se propone el siguiente problema:
"Indique dónde se alcanza el mínimo de la función $F(x,y)=6x+3y-2$ en la región determinada por las restricciones $2x+y \ge 6$ ; $2x+5y \le 30$ ; $2x-y \le 6$ ."

– (a) Resuelva el problema
– (b) Ana responde que se alcanza en $(1,4)$ y Benito que lo hace en $(3,0)$ . ¿Es cierto que el mínimo se alcanza en $(1,4)$ ?. ¿Es cierto que se alcanza en $(3,0)$ ?.

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(a) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:
$x+3y \le 12 ; \quad \frac{x}{3}+\frac{y}{5} \ge 1 ; \quad y \ge 1 ; \quad x \ge 0$

(b) Calcule los valores extremos de la función $F(x,y)=5x+15y$ en dicha región y dónde se alcanzan.

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Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta $r$ de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{ll} x-2y+11=0 \\ 2y+z-19 = 0 \end{array} \right.$
y contiene a la recta $s$ definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x= 1 - 5\lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{array} \right.$

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Sean las matrices

$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)$
y
$C = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)$

Calcula la matriz $X$ que cumpla la ecuación $AXB = C$

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Considera los planos $\pi_1$ , $\pi_2$ y $\pi_3$ dados respectivamente por las ecuaciones
$x+y=1$ , $ay+z=0$ y $x+(1+a)y+az = a+1$
– a) ¿Cuánto ha de valer $a$ para que no tengan ningún punto en común?
– b) Para $a=0$ , determina la posición relativa de los planos.

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Halla el punto simétrico de $P(1,1,1)$ respecto de la recta $r$ de ecuación
$\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}$

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Determina el punto simétrico de $A(-3,1,6)$ respecto de la recta $r$ de ecuaciones $x-1 = \frac{y+3}{2} = \frac{z+1}{2}$

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Dadas las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

– a) Calcula el rango de $A$ dependiendo de los valores de $\alpha$
– b) Para $\alpha=2$ , resuelve la ecuación matricial $A^tX=B$

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Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} \alpha & 1 \\ - \alpha & 3 \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{array} \right)$

– a) Calcula los valores de $\alpha$ para los que la matriz inversa de A es $\frac{1}{12}A$
– b) Para $\alpha=-3$ , determina la matriz $X$ que verifica la ecuación $A^tX=B$ , siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$ .

📝 Ejercicios de PIZARRA