Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Sea la función $f: R \longrightarrow R$ definida por:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 5x+10 & si & x \leq -1 \\ \\ x^2-2x+2 & si & x > -1 \end{array} \right.$

– (a) Esboza la gráfica de $f$
– (b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f$ , el eje de abcisas y la recta $x=3$

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Siendo $Ln(x)$ el logaritmo neperiano de $x$ , considera la función $f : (0, +\infty) \longrightarrow R$ definida por $f(x) = x \cdot Ln(x)$ . calcula:

– (a) $\int f(x) dx$
– (b) Una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(1,0)$

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De la función $f : R \longrightarrow R$ se sabe que $f\textsc{\char13} \textsc{\char13}(x) = x^2 + 2x +2$ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $P(1,2)$ . Halla la expresión de $f$

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Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva tiene como ecuación $y = \frac{2x+2}{1-x}$

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Sea $Ln \:(1 - x^2)$ el logaritmo neperiano de $1 - x^2$ y sea $f : (-1, 1) \longrightarrow R$ la
función definida por $f (x) = Ln\: (1 - x^2 )$ . Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1)$ .

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Se sabe que la función $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = x^3 + ax^2 + bx + c$
tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 0$ y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = -1$ . Conociendo además que $\int_0^1 f(x) dx = 6$ , halla $a$ , $b$ y $c$ .

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Dadas la parábola de ecuación $y = 1 + x^2$ y la recta de ecuación $y = 1 + x$ , se pide:

– (a) Área de la región limitada por la recta y la parábola.
– (b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

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Determina el valor positivo de $\lambda$ para el que el área del recinto limitado por la parábola $y=x^2$ y la recta $y = \lambda x$ es 1.

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Sea $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = \sqrt[3]{x}$

– (a) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa $x = 1$ .
– (b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida.
– (c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

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Sea $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = \sqrt[3]{x}$

– (a) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa $x = 1$ .
– (b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida.
– (c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

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Sea $I = \int_0^2 \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \: dx$

– a) Expresa $I$ aplicando el cambio de variable $t=1+x^2$
– b) Calcula el valor de $I$

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El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones $y = \frac{x^2}{a}$ y $y=\sqrt{ax}$
con $a > 0$ , vale $3$ . Calcula el valor de $a$ .

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Considera las funciones $f : \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \longrightarrow R$ y $g : (0, +\infty) \longrightarrow R$ definidas por:

$f(x) = \frac{sen \: x}{cos^3 \: x}$ y $g(x) = x^3 \cdot ln\:x$ (ln denota la función logaritmo neperiano)

– (a) Halla la primitiva de $f$ que toma el valor $1$ cuando $x = \frac{\pi}{3}$
(se puede hacer el cambio de variable $t = cos \: x$ )
– (b) Calcula $\int g(x) dx$

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Sea $g : R \longrightarrow R$ la función definida por $g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x$ .

– (a) Esboza la gráfica de $g$
– (b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto de abscisa $x=2$
– (c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $g$ y el eje de abscisas.

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Sea $g: \: R \rightarrow R$ definida por $g(x)=ln(x^2+1)$ . Calcula la primitiva de $g$ cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x) = e^x \cdot cos(x)$

– a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abcisa $x=0$
– b) Calcula la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(0,0)$

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– Dibuje la región encerrada por las curvas $y=2x$ y $y=x^2-4x$
– Encuentre el área de dicha región

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Suponga que la velocidad de crecimiento de una población en el instante $t$ sufre variaciones estacionales en su tamaño de acuerdo con la ecuación
$\frac{dN}{dt} = 3 \sen (2 \pi t)$
donde $t$ se mide en años e indica el tamaño de la población en el instante $t$ . Si $N(0)=10$ (en unidades de miles), calcule una expresión de $N(t)$ . ¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?

📝 Ejercicios de integrales