Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Los puntos $A(3,0,0)$ , $B(0,3,0)$ y $C(0,0,3)$ son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto $P(1,1,1)$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a los puntos A, B y C.

– a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
– b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto $P(1,1,1)$ y es perpendicular al plano $\pi$
– c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.

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Dados los puntos $A(3,-2,-2)$ , $B(1,0,1)$ y $C(2,1,-1)$
y el plano $\alpha : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 1 - \lambda + \mu \\ y & = & \lambda - \mu \\ z & = & 2 - \lambda - \mu \end{array} \right.$

Se pide:

a) Comprueba si los puntos A, B y C pertenecen al plano.

b) Halla la ecuación general del plano.

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Dados el punto $P(3, -2, 1)$ y los vectores $\vec{v}=(2,4,-1)$ y $\vec{w}=(0,-2,3)$ se pide:

a) Halla la ecuación vectorial, paramétrica e implícita (o general) del plano $\pi$ que forman.

b) Comprueba si los puntos $A(3, 2, 1)$ y $B(2, 3, -9)$ pertenecen o no al plano $\pi$ .

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Dadas las rectas
$R_1 \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x+y-2z=0 \\2x-3y+z-1=0 \end{array} \right.$ y $R_2 \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x= 3 \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 2 +\lambda \end{array} \right.$
– a) Halla los puntos de corte entre $R_2$ y el plano $\pi : x-3y-2z=2$
– b) Halla la ecuación de un plano que sea perpendicular a $R_1$ y que pase por el punto de corte hallado en el apartado a)

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Considera los puntos $A(1,0,2)$ , $B(-1,3,1)$ y $C(2,1,2)$

– (a) Halla la ecuación del plano que contiene a $A$ , $B$ y $C$
– (b) Halla el área del triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$

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Dados los puntos $A(1,2,3)$ , $B(1,0,0)$ y $C(0,1,1)$ , se pide:

– a) Ecuación del plano $\pi$ que pasa por $A$ , $B$ y $C$
– b) Vector normal al plano $\pi$
– c) Ecuación de una recta perpendicular al plano $\pi$ y que pase por el punto $(0,0,1)$

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Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos $A(2,3,5)$ , $B(1,1,2)$ y $C(3,6,10)$

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Dados los puntos $A(1,-2,5)$ , $B(1,0,1)$ y $C(0,-1,1)$ , se pide:

– a) Ecuación del plano $\pi$ que pasa por $A$ , $B$ y $C$
– b) Vector normal al plano $\pi$
– c) Ecuación de una recta perpendicular al plano $\pi$ y que pase por el punto $(0,0,1)$

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La Gran Pirámide de Guiza (también conocida como Pirámide de Keops o de Jufu) es la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Ayúdanos a conocer un poco más de la Gran Pirámide, siguiendo los siguientes pasos:

1) La base de la pirámide está formada por los cuatro puntos de los cuales tres puntos son $A=(-5,-5,0)$ , $B=(-5,5,0)$ y $C=(5,-5,0)$ . Forma los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ , comprueba que son linealmente independientes y calcula el área del paralelogramo que forman haciendo uso del producto vectorial. Sabiendo que la longitud es $1=23 \: m$ y por tanto la superficie es $1=529 \: m^2$ ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene la Gran Pirámide?

2) Si la vertical del centro de la pirámide sigue esta ecuación:
$r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right.$
Y el lado de la puerta (donde está el $\vec{AC}$ ) es la recta de ecuación:
$s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right.$

¿Cuántos metros hay de la puerta al centro de la pirámide, O? Demuéstralo con la distancia entre dos rectas (1=23 m)

3) Sabiendo que la cúspide (D) está en el $(0,0,6)$ calcular las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las dos rectas $u$ y $v$ que forma los lados ( $\vec{AD}$ y $\vec{CD}$ )

4) Halla el plano que contiene a la puerta $(0,-5,0)$ y es un lado de la pirámide. Halla el plano que es vertical y contiene a la puerta y al centro O. Interseca ambos planos obteniendo la ecuación de la recta $h$ . Comprueba que es la misma recta que pasa por la puerta y la cúspide D.

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Resuelve los siguientes apartados:
– a) Calcular la ecuación del plano $\pi$ que pasa por $P(3,-1,-1)$ y es perpendicular a la recta
$r \equiv \left\{ x + y +z = 1 \atop 2x + y = 3 \right.$

– b) Corta el plano anterior con los tres ejes de coordenadas y obtendrás tres puntos A, B y C. Calcula el Volumen del tetraedro que determinan.

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Halla la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x= 1 - \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 \end{array} \right.$

y es paralelo a la recta $s$ definida por
$\frac{x}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{2-z}{1}$

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Calcular la ecuación del plano que pasa por $P(0,1,5)$ y $Q=(3,4,3)$ y es paralelo a la recta $r \equiv \left\{ x - y + z = 0 \atop 2x + y = 3 \right.$

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Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los posibles valores del parámetro $a$ , siendo:
$\pi_1= 4x+2y+2z=2a$
$\pi_2= ax+y+z=1$
$\pi_3= 2x+y+az=1$

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Estudia la posición relativa de la recta r y el plano $\alpha$ en los siguientes casos:

a) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2 + 3 \lambda \\ y & = & 2 \lambda \\ z & = & -2 +4 \lambda \end{array} \right. \qquad \alpha : 3x-y+2z+1=0$

b) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2t + 3 \\ y & = & t-1\\ z & = & t+2 \end{array} \right. \qquad \alpha : x-3y+z-8=0$

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Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A(1,0,-1)$ , es perpendicular al plano $x-y+2z+1=0$ y es paralelo a la recta
$\left\{ \begin{array}{rrr} x-2y & = & 0\\ z & = & 0 \end{array} \right.$

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Calcula $a$ sabiendo que los planos

$ax+y-7z=-5$ y $x+2y+a^2z=8$

se cortan en una recta que pasa por el punto $A(0,2,1)$ y no pasa por el punto $B(6,-3,2)$

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Considera los planos

$\pi_1 \equiv 2x+5=0$ y $\pi_2 \equiv 3x+3y-4=0$

– (a) ¿Qué ángulo determinan ambos planos?
– (b) Halla el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los dos planos dados

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Considera el sistema
$\left. \begin{array}{ccc} mx+y-z & = & 1 \\ x - my+ z & = & 4 \\ x + y+ mz & = & m \end{array} \right\}$

– (a) Discútelo según los valores de $m$
– (b) ¿Cuál es, según los valores de $m$ , la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?

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Sea $r$ la recta de ecuaciones
$r \equiv \left\{ \begin{array}{ccc} 3x + 2y & = & 0 \\ 3x + z & = & 0 \end{array} \right.$

– (a) Halla los puntos de $r$ cuya distancia al origen es de $7$ unidades
– (b) Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1,2,-1)$

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Considera el plano $2x+y+2z-4=0$ .

– (a) Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano dado con los ejes coordenados.
– (b) Calcula la distancia del origen al plano dado.

📝 Ejercicios de planos