Teorema del coseno

trigonometría

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras aplicable a triángulos no rectángulos.

Permite calcular cualquier lado de un rectángulo si se conocen los otros dos lados y el ángulo formado entre ellos

**Teorema del coseno**

Teorema del coseno para resolución de triángulos no rectángulos

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Otra de sus aplicaciones es cuando se conocen los 3 lados de un triángulo y no se conoce ningún ángulo.

Ejemplo resuelto

Calcula los ángulos de un triángulo de lados 3, 5 y 7

En primer lugar comprobamos que no es triángulo rectángulo
$3^2 + 5^2 \neq 7^2$

Hacemos un dibujo y aplicamos el teorema del coseno

$a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot {cos \: \alpha}$

$5^2=3^2+7^2-2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot {cos \: \alpha}$

$25-9-49=-42 \cdot {cos \: \alpha}$

$\frac{-33}{-42} = {cos \: \alpha}$

$\alpha = arc \: cos \frac{33}{42} \longrightarrow \alpha = \fbox{38.2^\circ}$

Volvemos a aplicar el teorema del coseno para calcular el segundo ángulo (aunque también se podría aplicar el teorema de los senos)

$7^2=3^2+5^2-2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot {cos \: \beta}$
$49=9+25-30 {cos \: \beta}$
$-0.5= {cos \: \beta}$
$\beta = arc \: cos (-0.5) \longrightarrow \beta = \fbox{120^\circ}$

Para el tercer ángulo, ya es más fácil

$38.2^\circ + 120^\circ + \gamma = 180^\circ \longrightarrow = \gamma = \fbox{21.8^\circ}$

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