Selectividad Andalucía 2011-Junio-A1

andalucía Ejercicios_Resueltos funciones MatematicasII_Andalucía_2011 optimización selectividad

Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a $54 \: m^2$ . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen máximo.

SOLUCIÓN

Necesitamos recordar algunos conocimientos previos:
– Área del círculo: $\pi R^2$
– Longitud de la circunferencia: $2 \pi R$
– Volumen del cilindro: Área_base · Altura: $\pi R^2 \cdot H$
– Área del cilindro: 1 rectángulo + 2 círculos: $2 \pi R \cdot H + 2 \cdot \pi R^2$

Datos del problema:
– Área del cilindro es 54

$2 \pi R \cdot H + 2 \cdot \pi R^2 = 54$

– El volumen debe ser máximo

$Volumen = \pi R^2 \cdot H$

La función a maximizar (el volumen) tiene dos variables: $R$ y $H$ .
Debemos expresarlo con una sola variable.
Para ello, debemos poner una variable en función de otra. Nos ayudamos de la fórmula del área: $2 \pi R \cdot H + 2 \cdot \pi R^2 = 54$ , donde despejaremos $H$

$H=\frac{54-2 \pi R^2}{2 \pi R}$

Sustituimos en el volumen, con lo cual nos quedará ya una función con una sola variable

$Volumen \rightarrow V(r)=\pi R^2 \cdot \frac{54-2 \pi R^2}{2 \pi R}$

Simplificando y ordenando nos queda:

$V(r) = -\pi R^3+27R$

Para buscarle un máximo debemos igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. Las soluciones serán los candidatos a máximos y mínimos.
Aplicándole la segunda derivada (y mirando su signo), sabremos si ese máximo o mínimo.

$V^{\prime}(r) = -3 \pi R^2 + 27 = 0 \Rightarrow R = \pm \frac{3}{\sqrt{\pi}}$

Podemos descartar la solución negativa por ser $R$ una longitud.

$V^{\prime\prime}(r)=-6 \pi R$
$V^{\prime\prime}(\frac{3}{\sqrt{\pi}}) < 0 \Longrightarrow \frac{3}{\sqrt{\pi}}$ es MÁXIMO

Ya conocemos el radio $R = \frac{3}{\sqrt{\pi}}=\frac{3 \sqrt{\pi}}{\pi}$ ,
ahora calculamos la altura $H$

$H=\frac{54-2 \pi R^2}{2 \pi R}=\frac{54-2 \pi \left( \frac{3}{\sqrt{\pi}} \right)^2}{2 \pi \cdot \frac{3}{\sqrt{\pi}}} \Rightarrow H=\frac{6 \sqrt{\pi}}{\pi}$

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Mensajes

15 de junio de 2011, 16:01, por dani

Ha salido esta mañana (15 Junio 2011) en las Pruebas de Acceso a la Universidad (Selectividad) de Andalucía.
- 16 de junio de 2011, 05:01, por rubiomga
  
  Problema de Optimización
  
  Hay que relacionar las dos incógnitas a optimizar mediante dos ecuaciones que serán las que vienen dadas por el dato (área) y por lo que se pretende optimizar(Volumen)
  
  54= bH+2piR^2
  V=piR^2 H
  
  donde el área del cilindro lo constituye las dos tapas y el rectángulo pertinente. Es aquí donde se introduce una tercera incógnita: la base del rectángulo, sin embargo, este es calculado sabiendo que su base es igual al perímetro de la circunferencia que sirve de base.
  
  b=2piR
  
  54=2piRH+2piR^2
  V=HpiR^2 ->H=V/piR^2
  
  54=2V/R + 2piR^2
  
  54-2piR^2=2V/R
  
  54R-2piR^3=2V
  
  V=27R-piR^3
  
  V’=27-3piR^2=0 -> 9=piR^2 -> R2=9/pi ->
  R=3/sqrt(pi)
  
  V’’=-6piR (sustituyes tu resultado) Como R>0 v’’<0 y es un máximo
  
  54=6sqrt(pi)H + 18
  
  36=6sqrt(pi)H
  
  H=6/sqrt(pi)