Integrales Racionales con raíces reales simples y múltiples

integrales integrales racionales

Cuando al factorizar el denominador de una fracción algebraica aparecen raíces reales simples y raíces reales múltiples, debemos combinar ambos métodos: raíces simples y raíces múltiples.

Ejemplo:

$\int \frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2}dx$

$\frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

Realizamos la suma en la parte derecha del signo igual

$\frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}$

Igualamos numeradores:

$x+2 = A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)$

Damos 3 valores arbitrarios a x: $x=1$ y $x=-1$ (las raíces) y otro fácil $x=0$

– Si $x=1 \Longrightarrow 3=4A \Longrightarrow A=\frac{3}{4}$
– Si $x=-1 \Longrightarrow 1=-2C \Longrightarrow C=\frac{-1}{2}$
– Si $x=0 \Longrightarrow 2=A-B-C \Longrightarrow 2=\frac{3}{4}-B+\frac{1}{2} \Longrightarrow B=\frac{-3}{4}$

Por tanto:

$\frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{3/4}{x-1} + \frac{-3/4}{x+1} + \frac{-1/2}{(x+1)^2}$

Y ahora la integral resultante es una suma de inmediatas

$\int \frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2}dx =\int \frac{3/4}{x-1}dx + \int \frac{-3/4}{x+1}dx + \int \frac{-1/2}{(x+1)^2}dx=$

$=\frac{3}{4}\int \frac{1}{x-1}dx - \frac{3}{4} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=$

$=\frac{3}{4}Ln|x-1| - \frac{3}{4} Ln|x+1| + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1} + C$

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