Estudio Global de Funciones

Ejercicios_Resueltos estudio global de función funciones

Realiza un estudio global (dominio, simetrías, corte con los ejes, asíntotas, monotonía, extremos y representación gráfica) de la función:
$f(x) = x^4-3x^2$

SOLUCIÓN

Estudio global de $f(x) = x^4-3x^2$

Dominio

$Dom(f) = R$
El dominio de cualquier función polinómica es "todos los números reales"

Asíntotas

Una función polinómica no tiene asíntotas.

Simetrías

$f(-x) = (-x)^4-3(-x)^2 = x^4-3x^2 = f(x)$
Es una función par (simétrica respecto al eje OY)

Corte con los ejes

– Si $x = 0$ entonces $y = 0$ . Punto: $(0,0)$
– Si $y=0$ entonces $x^4-3x^2=0$ . Resolvemos la ecuación:
$x^2(x^2-3)=0$ de donde:
$\rightarrow x=0$
$\rightarrow x^2-3=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt3$
Puntos: $(0,0)$ , $(\sqrt3,0)$ , $(-\sqrt3,0)$

Monotonía

$f\textsc{\char13}(x)=4x^3-6x$
$f\textsc{\char13}(x)=0 \Longrightarrow 4x^3-6x=0 \Longrightarrow x(4x^2-6)=0$
De donde:
$\rightarrow x=0$
$\rightarrow 4x^2-6=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt\frac32$
Intervalos:
$(-\infty, -\sqrt\frac32)$ , $(-\sqrt\frac32 , 0)$ , $(0, +\sqrt\frac32)$ , $(+\sqrt\frac32 , +\infty)$

Tomamos un punto de cada intervalo para ver el signo de la derivada (positivo significa creciente y negativo decreciente)

– $f\textsc{\char13}(-2) = 4(-2)^3-6(-2)=-32+12=-20 < 0\Longrightarrow$ DECRECIENTE
– $f\textsc{\char13}(-1) = 4(-1)^3-6(-1)=-4+6=2 > 0\Longrightarrow$ CRECIENTE
– $f\textsc{\char13}(1) = 4(1)^3-6(1)=4-6=-2 < 0\Longrightarrow$ DECRECIENTE
– $f\textsc{\char13}(2) = 4(2)^3-6(2)=32-12=20 > 0\Longrightarrow$ CRECIENTE

Extremos

Aplicamos la derivada segunda a los puntos $0 \: ,\: \pm \sqrt3/2$

$f\textsc{\char13}\textsc{\char13}(x) = 12x^2-6$

– $f\textsc{\char13}\textsc{\char13}(0) = -6 < 0 \Longrightarrow$ MÁXIMO en $x=0$
– $f\textsc{\char13}\textsc{\char13}(-\sqrt3/2) = 12\frac32-6=12 > 0 \Longrightarrow$ MÍNIMO en $x=-\sqrt3/2$
– $f\textsc{\char13}\textsc{\char13}(-\sqrt3/2) = 12\frac32-6=12 > 0 \Longrightarrow$ MÍNIMO en $x=+\sqrt3/2$
Calculemos la imagen de los extremos para conocer la segunda coordenada:
– $f(0) = 0^4-3 \cdot 0^2 = 0 \Longrightarrow MAX(0,0)$
– $f\left(-\sqrt3/2 \right) = \left( -\sqrt3/2\right)^4-3 \cdot \left( -\sqrt3/2 \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow$ MIN $(-\sqrt3/2, -2.25)$
– $f\left(+\sqrt3/2 \right) = \left( +\sqrt3/2\right)^4-3 \cdot \left( +\sqrt3/2 \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow$ MIN $(+\sqrt3/2, -2.25)$

Gráfica

Con los datos obtenidos anteriormente:

podemos ya dibujar la gráfica:

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15 de junio de 2008, 11:22, por dani

Estudio global de $f(x) = x^4-3x^2$

Dominio

$Dom(f) = R$
El dominio de cualquier función polinómica es "todos los números reales"

Asíntotas

Una función polinómica no tiene asíntotas.

Simetrías

$f(-x) = (-x)^4-3(-x)^2 = x^4-3x^2 = f(x)$
Es una función par (simétrica respecto al eje OY)

Corte con los ejes

– Si $x = 0$ entonces $y = 0$ . Punto: $(0,0)$
– Si $y=0$ entonces $x^4-3x^2=0$ . Resolvemos la ecuación:
$x^2(x^2-3)=0$ de donde:
$\rightarrow x=0$
$\rightarrow x^2-3=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt{3}$
Puntos: $(0,0)$ , $(\sqrt{3},0)$ , $(-\sqrt{3},0)$

Monotonía

$f’(x)=4x^3-6x$
$f’(x)=0 \Longrightarrow 4x^3-6x=0 \Longrightarrow x(4x^2-6)=0$
De donde:
$\rightarrow x=0$
$\rightarrow 4x^2-6=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Intervalos:
$(-\infty, -\sqrt{\frac{3}{2}})$ , $(-\sqrt{\frac{3}{2}} , 0)$ , $(0, +\sqrt{\frac{3}{2}})$ , $(+\sqrt{\frac{3}{2}} , +\infty)$

Tomamos un punto de cada intervalo para ver el signo de la derivada (positivo significa creciente y negativo decreciente)

– $f’(-2) = 4(-2)^3-6(-2)=-32+12=-20 < 0\Longrightarrow$ DECRECIENTE
– $f’(-1) = 4(-1)^3-6(-1)=-4+6=2 > 0\Longrightarrow$ CRECIENTE
– $f’(1) = 4(1)^3-6(1)=4-6=-2 < 0\Longrightarrow$ DECRECIENTE
– $f’(2) = 4(2)^3-6(2)=32-12=20 > 0\Longrightarrow$ CRECIENTE

Extremos

Aplicamos la derivada segunda a los puntos 0 , $\pm \sqrt{3/2}$

$f’’(x) = 12x^2-6$

– $f’’(0) = -6 < 0 \Longrightarrow$ MÁXIMO en $x=0$
– $f’’(-\sqrt{3/2}) = 12\frac{3}{2}-6=12 > 0 \Longrightarrow$ MÍNIMO en $x=-\sqrt{3/2}$
– $f’’(-\sqrt{3/2}) = 12\frac{3}{2}-6=12 > 0 \Longrightarrow$ MÍNIMO en $x=+\sqrt{3/2}$

Calculemos la imagen de los extremos para conocer la segunda coordenada:

– $f(0) = 0^4-3 \cdot 0^2 = 0 \Longrightarrow MAX(0,0)$
– $f\left(-\sqrt{3/2} \right) = \left( -\sqrt{3/2}\right)^4-3 \cdot \left( -\sqrt{3/2} \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow$ MIN $(-\sqrt{3/2}, -2.25)$
– $f\left(+\sqrt{3/2} \right) = \left( +\sqrt{3/2}\right)^4-3 \cdot \left( +\sqrt{3/2} \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow$ MIN $(+\sqrt{3/2}, -2.25)$

Gráfica

Con los datos obtenidos anteriormente:

podemos ya dibujar la gráfica: