Ejemplo de Integración por Partes

Vamos a calcular $\int 3x \cdot e^x \cdot dx$

Se trata de un polinomio por una exponencial, caso habitual de integración por partes (siendo "u" el polinomio y "dv" la exponencial)

Antes de aplicar la fórmula $\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$ , debemos especificar a qué llamamos $u$ y a qué llamamos $dv$

– $u = 3x$
– $dv = e^x \cdot dx$

– Derivamos u (respecto de x) y despejamos "du"
– Integramos v

– $u = 3x \longrightarrow \frac{du}{dx} = 3 \Rightarrow du = 3 dx$
– $dv = e^x \cdot dx \longrightarrow v=\int e^x \cdot dx \Rightarrow v=e^x$

Ahora que tenemos todos los datos, aplicamos la fórmula:

$\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$
$\int 3x \cdot e^x \cdot dx = 3x \cdot e^x - \int e^x \cdot 3 \cdot dx$
Observamos que la parte a integrar es ahora más fácil
$\int 3x \cdot e^x \cdot dx = 3x \cdot e^x - 3 \cdot \int e^x dx$
$\int 3x \cdot e^x \cdot dx = 3x \cdot e^x - 3 \cdot e^x = (3x-3)e^x + C$

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