Ej 1 de Asíntotas Oblicuas

Halla la asíntota oblicua de la función:
– $f(x) = \frac{4x^2+2x-2}{3x-1}$

SOLUCIÓN

La asíntota oblicua es de la forma $y=mx+n$ , donde:
$m=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}$ ; $n=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-mx]$

$\frac{f(x)}{x} = \frac{4x^2+2x-2}{3x-1} : \frac{x}{1}=\frac{4x^2-2x-2}{3x^2-x}$
$m=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{4x^2-2x-2}{3x^2-x}=\frac{4}{3}$

$f(x)-mx=\frac{4x^2+2x-2}{3x-1}-\frac{4x}{3}=$
$=\frac{3(4x^2+2x-2)-4x(3x-1)}{(3x-1)\cdot 3}=\frac{10x-6}{9x-2}$

$n=\lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-mx]=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{10x-6}{9x-3} = \frac{10}{9}$

Por tanto la asíntota oblicua es $y = \frac{4}{3} x + \frac{10}{9}$