Ecuaciones racionales 3201

Resuelve la ecuación $\frac{5x-4}{x+1} = \frac{2x+3}{x-1} - 5$

SOLUCIÓN

Ecuación racional:

$\frac{5x-4}{x+1} = \frac{2x+3}{x-1} - 5$

Paso 1 · Dominio de la ecuación

Los denominadores no pueden ser cero. Valores excluidos:

$x \neq -1 \qquad x \neq 1$

Paso 2 · Denominadores y MCM

Los denominadores presentes son: (x+1), (x-1).

$\text{MCM} = (x+1)(x-1)$

Paso 3 · Multiplicamos por el MCM para eliminar denominadores

Cada fracción, al multiplicarse por el MCM, cancela su denominador:

$\dfrac{(5x-4) \cdot \cancel{(x+1)} \cdot (x-1)}{\cancel{(x+1)}} = (5x-4) \cdot (x-1) = 5x^{2} - 9x + 4$

$\dfrac{(2x+3) \cdot \cancel{(x-1)} \cdot (x+1)}{\cancel{(x-1)}} = (2x+3) \cdot (x+1) = 2x^{2} + 5x + 3$

$-5 \cdot (x+1)(x-1) = -5x^{2} + 5$

Paso 4 · Ecuación sin denominadores

$5x^{2} - 9x + 4 = -3x^{2} + 5x + 8$

Paso 5 · Resolvemos la ecuación resultante

Transponemos al primer miembro:

$8x^{2} - 14x - 4 = 0$

Con $a=8$ , $b=-14$ , $c=-4$ :

$\Delta = b^2-4ac = -14^2 - 4 \cdot 8 \cdot -4 = 196 + 128 = 324$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{324}}{16}$

$x = \frac{14 \pm 18}{16}$

$x_1 = 2$

$x_2 = \frac{-1}{4}$

Paso 6 · Verificamos las soluciones respecto al dominio

$x = 2$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$x = \frac{-1}{4}$ no anula ningún denominador → solución válida ✓

$\boxed{x_1 = 2 \qquad x_2 = \frac{-1}{4}}$