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sistemas lineal 2x2

Ejercicios_Resueltos sistemas_por_igualación sistemas_por_reducción sistemas_por_sustitución sistema_lineal_2_ecuaciones_2_incognitas

Resuelve el sistema de ecuaciones:
$\displaystyle { \left\{ {3x-4y=-6 \atop x+2y=8 } \right.}$

SOLUCIÓN

Método de Sustitución

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos esa expresión en la otra, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

Sistema de partida:

$\begin{cases}3x - 4y = -6\\x + 2y = 8\end{cases}$

Paso previo · Elegimos qué incógnita despejar

El coeficiente de x en la Ec.2 es 1: despejamos x de esa ecuación porque no aparecerán fracciones.

Paso 1 · Despejamos x de la segunda ecuación

${\color{blue} x = 8 - 2y}$

Paso 2 · Sustituimos x en la primera ecuación

$3(8 - 2y) - 4y = -6$

Paso 3 · Desarrollamos el paréntesis

$24 - 6y - 4y = -6$

Paso 4 · Agrupamos los términos con y a un lado y los números al otro

$-10y = -30$

Paso 5 · Despejamos y

${\color{blue} y = 3}$

Paso 6 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = 8 - 2\cdot\left(3\right)$

${\color{blue} x = 2}$

Solución

$\boxed{x = 2 \qquad y = 3}$

Método de Igualación

Despejamos la misma incógnita (x) en las dos ecuaciones e igualamos las expresiones resultantes. Así obtenemos una ecuación con solo y.

Sistema de partida:

$\begin{cases}3x - 4y = -6\\x + 2y = 8\end{cases}$

Paso 1 · Despejamos x de la primera ecuación

$3x = -6 + 4y$

${\color{blue} x = \dfrac{-6 + 4y}{3}}$

Paso 2 · Despejamos x de la segunda ecuación

$x = 8 - 2y$

${\color{blue} x = 8 - 2y}$

Paso 3 · Como ambas expresiones son iguales a x, las igualamos entre sí

$\dfrac{-6 + 4y}{3} = 8 - 2y$

Paso 4 · Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores

$(-6 + 4y) = 3(8 - 2y)$

Paso 5 · Desarrollamos los paréntesis

$-6 + 4y = 24 - 6y$

Paso 6 · Pasamos todos los términos con y a la izquierda y los números a la derecha

$10y = 30$

Paso 7 · Despejamos y

${\color{blue} y = 3}$

Paso 8 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = \dfrac{-6 + 4\cdot\left(3\right)}{3}$

${\color{blue} x = 2}$

Solución

$\boxed{x = 2 \qquad y = 3}$

Método de Reducción

Multiplicamos las ecuaciones por números adecuados de forma que, al sumar o restar, una incógnita se elimine.

Sistema de partida:

$\begin{cases}3x - 4y = -6\\x + 2y = 8\end{cases}$

Paso previo · Elegimos la incógnita a eliminar

2 es múltiplo de 4 (coeficientes de y). Basta con multiplicar la Ec.2 por 2.

Paso 1 · Sistema equivalente tras multiplicar

$3x - 4y = -6\quad\text{(sin cambios)}$

$2\cdot\left[x + 2y = 8\right]\;\Rightarrow\;2x + 4y = 16$

Paso 2 · Signos contrarios en y: sumamos para eliminarla

$\begin{array}{rl} & 3x - 4y = -6 \\ + & 2x + 4y = 16 \\ \hline & 5x = 10 \end{array}$

Paso 3 · Despejamos x

${\color{blue} x = 2}$

Paso 4 · Sustituimos x en la primera ecuación para hallar y

$3x - 4y = -6$

$-4y = -6 - 3\cdot\left(2\right)$

$y = \dfrac{-6 - 3\cdot\left(2\right)}{-4}$

${\color{blue} y = 3}$

Solución

$\boxed{x = 2 \qquad y = 3}$

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