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sistemas lineal 2x2

Ejercicios_Resueltos sistemas_por_igualación sistemas_por_reducción sistemas_por_sustitución sistema_lineal_2_ecuaciones_2_incognitas

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$\displaystyle { \left\{ { 2x-5y=-12 \atop 7x-2y=-11 } \right. }$

SOLUCIÓN

Método de Sustitución

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos esa expresión en la otra, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

Sistema de partida:

$\begin{cases}2x - 5y = -12\\7x - 2y = -11\end{cases}$

Paso previo · Elegimos qué incógnita despejar

Ningún coeficiente es 1 ni −1. Elegimos despejar x de la Ec.1 (coeficiente 2, el menor en valor absoluto).

Paso 1 · Despejamos x de la primera ecuación

$2x = -12 + 5y$

${\color{blue} x = \dfrac{-12 + 5y}{2}}$

Paso 2 · Sustituimos x en la segunda ecuación

$7\cdot\dfrac{-12 + 5y}{2} - 2y = -11$

Paso 3 · Multiplicamos todos los términos por 2 para eliminar el denominador

$-84 + 35y - 4y = -22$

Paso 4 · Agrupamos los términos con y a un lado y los números al otro

$31y = 62$

Paso 5 · Despejamos y

${\color{blue} y = 2}$

Paso 6 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = \dfrac{-12 + 5\cdot\left(2\right)}{2}$

${\color{blue} x = -1}$

Solución

$\boxed{x = -1 \qquad y = 2}$

Método de Igualación

Despejamos la misma incógnita (x) en las dos ecuaciones e igualamos las expresiones resultantes. Así obtenemos una ecuación con solo y.

Sistema de partida:

$\begin{cases}2x - 5y = -12\\7x - 2y = -11\end{cases}$

Paso 1 · Despejamos x de la primera ecuación

$2x = -12 + 5y$

${\color{blue} x = \dfrac{-12 + 5y}{2}}$

Paso 2 · Despejamos x de la segunda ecuación

$7x = -11 + 2y$

${\color{blue} x = \dfrac{-11 + 2y}{7}}$

Paso 3 · Como ambas expresiones son iguales a x, las igualamos entre sí

$\dfrac{-12 + 5y}{2} = \dfrac{-11 + 2y}{7}$

Paso 4 · Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores

$7(-12 + 5y) = 2(-11 + 2y)$

Paso 5 · Desarrollamos los paréntesis

$-84 + 35y = -22 + 4y$

Paso 6 · Pasamos todos los términos con y a la izquierda y los números a la derecha

$31y = 62$

Paso 7 · Despejamos y

${\color{blue} y = 2}$

Paso 8 · Sustituimos y en la expresión del Paso 1 para hallar x

$x = \dfrac{-12 + 5\cdot\left(2\right)}{2}$

${\color{blue} x = -1}$

Solución

$\boxed{x = -1 \qquad y = 2}$

Método de Reducción

Multiplicamos las ecuaciones por números adecuados de forma que, al sumar o restar, una incógnita se elimine.

Sistema de partida:

$\begin{cases}2x - 5y = -12\\7x - 2y = -11\end{cases}$

Paso previo · Elegimos la incógnita a eliminar

Los coeficientes de y son 5 y 2, primos entre sí. Multiplicamos la Ec.1 por 2 y la Ec.2 por 5.

Paso 1 · Sistema equivalente tras multiplicar

$2\cdot\left[2x - 5y = -12\right]\;\Rightarrow\;4x - 10y = -24$

$5\cdot\left[7x - 2y = -11\right]\;\Rightarrow\;35x - 10y = -55$

Paso 2 · Mismo signo en y: restamos para eliminarla

$\begin{array}{rl} & 4x - 10y = -24 \\ - & (35x - 10y = -55) \\ \hline & -31x = 31 \end{array}$

Paso 3 · Despejamos x

${\color{blue} x = -1}$

Paso 4 · Sustituimos x en la primera ecuación para hallar y

$2x - 5y = -12$

$-5y = -12 - 2\cdot\left(-1\right)$

$y = \dfrac{-12 - 2\cdot\left(-1\right)}{-5}$

${\color{blue} y = 2}$

Solución

$\boxed{x = -1 \qquad y = 2}$

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