polinomios factorizar

Factoriza los siguientes polinomios:

– a) $2x^3 - 6x^2 - 48x - 56$
– b) $3x^3 - 3$

SOLUCIÓN

Factorización de:

$2x^{3}-6x^{2}-48x-56$

Paso 1 — Factor común:

$2x^{3}-6x^{2}-48x-56 = 2\left(x^{3}-3x^{2}-24x-28\right)$

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (-28):

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm 7,\ \pm 14,\ \pm 28$

$\color{red}{x=-28},\ \color{red}{x=-14},\ \color{red}{x=-7},\ \color{red}{x=-4}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=-2}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-2, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3-3x^2-24x-28}$

$\color{blue}{x=-2}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-2, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^2-5x-14}$

$\color{red}{x=-1},\ \color{red}{x=1}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=7}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=7, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x-7}$

Resultado final de la factorización:

$2x^{3}-6x^{2}-48x-56 = \boxed{2 \cdot \left(x+2\right) \cdot \left(x+2\right) \cdot \left(x-7\right)}$

Factorización de:

$3x^{3}-3$

Paso 1 — Factor común:

$3x^{3}-3 = 3\left(x^{3}-1\right)$

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (-1):

$\pm 1$

$\color{red}{x=-1}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=1}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=1, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3-1}$

$\color{red}{x=1}\text{: ninguno es raíz de }x^{2}+x+1$

Cuando ya no podemos encontrar más raíces por Ruffini podemos resolver la ecuación de segundo grado:

Aplicamos la fórmula cuadrática:

$\Delta = -3 < 0 \implies \text{sin raíces reales}$

El factor $x^{2}+x+1$ es irreducible en $\mathbb{R}$ .

Resultado final de la factorización:

$3x^{3}-3 = \boxed{3 \cdot \left(x-1\right) \cdot \left(x^{2}+x+1\right)}$