polinomios factorizar

Ejercicios_Resueltos factorizar_polinomios polinomios

Factoriza los siguientes polinomios:

– a) $x^3 - 5x^2 + 6x$
– b) $x^3 + 3x^2 - 9x + 5$

SOLUCIÓN

Factorización de:

$x^{3}-5x^{2}+6x$

Paso 1 — Factor común:

$x^{3}-5x^{2}+6x = x\left(x^{2}-5x+6\right)$

Paso 2 — Factor de grado 2:

Aplicamos la fórmula cuadrática:

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{5+1}{2}=3\\ & \nearrow &\\x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2} & &\\ & \searrow &\\& & x_2 = \frac{5-1}{2}=2\end{array}$

Por tanto:

$x^{2}-5x+6 = \left(x-3\right)\left(x-2\right)$

Resultado final de la factorización:

$x^{3}-5x^{2}+6x = \boxed{x \cdot \left(x-3\right) \cdot \left(x-2\right)}$

Factorización de:

$x^{3}+3x^{2}-9x+5$

No hay factor común distinto de 1.

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (5):

$\pm 1,\ \pm 5$

$\color{blue}{x=-5}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-5, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3+3x^2-9x+5}$

$\color{red}{x=-1}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=1}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=1, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^2-2x+1}$

$\color{blue}{x=1}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=1, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x-1}$

Resultado final de la factorización:

$x^{3}+3x^{2}-9x+5 = \boxed{\left(x+5\right) \cdot \left(x-1\right) \cdot \left(x-1\right)}$

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