polinomios factorizar

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Ejercicios_Resueltos factorizar_polinomios polinomios

Factoriza los siguientes polinomios:

– $P(x) = 4x^4+4x^3-67x^2+62x-15$
– $Q(x) = x^5+x^4-4x^3-2x^2+4x$

SOLUCIÓN

Factorización de:

$4x^{4}+4x^{3}-67x^{2}+62x-15$

No hay factor común distinto de 1.

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (-15):

$\pm 1,\ \pm 3,\ \pm 5,\ \pm 15$

$\color{red}{x=-15}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=-5}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-5, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{4x^4+4x^3-67x^2+62x-15}$

$\color{red}{x=-3},\ \color{red}{x=-1},\ \color{red}{x=1}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=3}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=3, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{4x^3-16x^2+13x-3}$

Cuando ya no podemos encontrar más raíces por Ruffini podemos resolver la ecuación de segundo grado:

Es un trinomio cuadrado perfecto:

$4x^{2}-4x+1 = \left(2x-1\right)^{2}$

Resultado final de la factorización:

$4x^{4}+4x^{3}-67x^{2}+62x-15 = \boxed{\left(x+5\right) \cdot \left(x-3\right) \cdot \left(2x-1\right)^{2}}$

Factorización de:

$x^{5}+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+4x$

Paso 1 — Factor común:

$x^{5}+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+4x = x\left(x^{4}+x^{3}-4x^{2}-2x+4\right)$

Paso 2 — Ruffini:

Los candidatos a raíces enteras son los divisores del término independiente (4):

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$

$\color{red}{x=-4}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=-2}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=-2, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^4+x^3-4x^2-2x+4}$

$\color{red}{x=-2},\ \color{red}{x=-1}\text{ no son raíces};\quad \color{blue}{x=1}\text{ es raíz:}$

$\polyhornerscheme[x=1, resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3-x^2-2x+2}$

$\color{red}{x=1},\ \color{red}{x=2}\text{: ninguno es raíz de }x^{2}-2$

Cuando ya no podemos encontrar más raíces por Ruffini podemos resolver la ecuación de segundo grado:

Ecuación incompleta (sin término en $x$ ): despejamos $x^2$ .

$x^2 = 2$

$x = \pm\sqrt{2}$

Por tanto:

$x^{2}-2 = \left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)$

Resultado final de la factorización:

$x^{5}+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+4x = \boxed{x \cdot \left(x+2\right) \cdot \left(x-1\right) \cdot \left(x - \sqrt{2}\right) \cdot \left(x + \sqrt{2}\right)}$

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1ro de diciembre de 2006, 11:51, por dani

$P(x)=4x^4+4x^3-67x^2+62x-15 =$
$(x-3) \cdot (x+5) \cdot 4 \cdot \left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(x-\frac{1}{2}\right)$

$Q(x)=x^5+x^4-4x^3-2x^2+4x =$
$x \cdot (x-1) \cdot (x+2) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x+\sqrt{2})$